Ломоносов 2025/26 · Математика · 7–8 кл., №5

Условие

Участница выезжает из дома в момент $t=0$ и движется без остановок с одной постоянной положительной скоростью. До первого пешеходного перехода $50$ м, сам переход имеет ширину $30$ м. После него до второго перехода ещё $120$ м, ширина второго — $10$ м; школа находится сразу за ним.

На первом светофоре для пешеходов повторяется цикл: $30$ секунд красного, затем $50$ секунд зелёного. В момент старта его красный сигнал только включился. На втором светофоре красный и зелёный длятся по $50$ секунд; красный на нём включится через $10$ секунд после старта.

Найдите наибольшую скорость, при которой оба перехода будут пройдены целиком на зелёный: нельзя въезжать на красный и нельзя оставаться на переходе после включения красного. Останавливаться перед переходами или менять скорость по пути нельзя.

Расстояния суммируются вдоль одного маршрута. Времена и максимальная скорость не раскрыты.

О задаче · 7–8 классы · баллы не подтверждены

Олимпиада: Ломоносов
Предмет / класс: Математика · 7–8 классы
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 7–8 классы.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Проверьте скорость на двух светофорах

Двигайте ползунок: тёмная полоска показывает всё время, проведённое на переходе. Она должна целиком попасть в зелёный интервал.

Постоянная скорость: 1,25 м/с

080160240320 с

Первый переход

Второй переход

Дом · 0 мШкола · 210 м

Время: 0 с

Визуализация идеализированной модели из условия. Поездка показана в ускоренном времени.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

До начала второго перехода от дома $200$ м, а не $170$ м. Выпишите зелёные интервалы каждого светофора.

Подсказка 2

Проверьте скорость, при которой участница прибудет ко второму переходу в $t=160$ с. Затем исключите все большие скорости двумя группами.

Разобрать решение по шагам

Посчитайте расстояния и первые интервалы зелёного

Начало и конец первого перехода находятся в $50$ и $80$ м от дома. До начала второго надо учесть и ширину первого:

50+30+120=200\text{ м}.

Школа находится в $210$ м от дома. Первые нужные интервалы сигналов таковы:

Светофор	Красный	Зелёный	Следующий красный	Следующий зелёный
Первый	$0$ – $30$ с	$30$ – $80$ с	$80$ – $110$ с	$110$ – $160$ с
Второй	$10$ – $60$ с	$60$ – $110$ с	$110$ – $160$ с	$160$ – $210$ с

Момент включения зелёного уже разрешает въезд. Чтобы перейти целиком на зелёный, нужно контролировать и въезд, и выезд.

Установите первую верхнюю границу скорости

Пусть постоянная скорость равна $v$ м/с. Если

v>\frac{50}{30}=\frac53,

то участница достигнет первого перехода раньше $30$ -й секунды. Там ещё красный, а ждать или замедляться нельзя.

Следовательно, любая подходящая скорость удовлетворяет

v\le\frac53\text{ м/с}.

Исключите скорости между 5/4 и 5/3

Остаётся выяснить, насколько ещё надо уменьшить скорость. У второго перехода зелёный включается в $160$ с; прибытие ровно в этот момент даёт кандидата

v=\frac{200}{160}=\frac54\text{ м/с}.

Исключим промежуток $\frac54<v\le\frac53$ Время прибытия ко второму переходу $\frac{200}{v}$ при таких скоростях лежит в пределах

120\le\frac{200}{v}<160.

Весь этот промежуток попадает на красный второго светофора, который горит с $110$ до $160$ с. Поэтому ни одна такая скорость не подходит.

Очень большие скорости исключил первый светофор, оставшиеся скорости больше $\frac54$ — второй. Это охватывает все возможности.

Проверьте граничную скорость на обоих переходах

Проверим $v=\frac54$ на всём протяжении обоих переходов.

Для первого:

\begin{aligned}t_{\text{въезд},1}&=\frac{50}{\frac54}=40\text{ с},\\[0.45em]t_{\text{выезд},1}&=\frac{80}{\frac54}=64\text{ с}.\end{aligned}

Весь отрезок от $40$ до $64$ с лежит внутри зелёного от $30$ до $80$ с.

Для второго:

\begin{aligned}t_{\text{въезд},2}&=\frac{200}{\frac54}=160\text{ с},\\[0.45em]t_{\text{выезд},2}&=\frac{210}{\frac54}=168\text{ с}.\end{aligned}

Въезд происходит ровно при включении зелёного; выезд — раньше его окончания в $210$ с. Здесь весь переход тоже безопасен.

Статичная проверка максимальной скорости: тёмные отрезки целиком попадают в зелёные интервалы. Работающая модель ниже позволяет менять скорость.

Соедините достижимость и невозможность большего

Скорость $\frac54$ м/с подходит, а все большие уже исключены. Значит, это максимум, а не просто удачный пример. При этой скорости участница достигнет школы через $168$ с после старта.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$\frac54$ м/с, то есть $1{,}25$ м/с.

Главная идея

В задаче на максимальную скорость нужны две части: проверить найденную скорость и доказать, почему ни одна большая не подходит.

Как заметить эту идею в другой задаче

Один режим движения должен попасть в несколько временных окон, а требуется максимум. Разбейте все более быстрые варианты на интервалы: разные препятствия могут исключать разные части диапазона.

Возможная ошибка

Проверить только момент въезда, забыв выезд, либо предъявить подходящую скорость без исключения всех больших. Ещё одна ошибка — потерять $30$ м первого перехода в расстоянии до второго.

Источник и примечания

Официальный источник

Архив организатора (ZIP) · задача 5 ↗

Ломоносов · 2025/26 · математика · 7–8 классы · заключительный этап · вариант 1.

Страницы PDF внутри архива: 2, 3. Ссылка открывает архив, а не отдельную страницу PDF.

Сохранена предыдущая сверка с официальным решением. Переходы и схемы этой редакции проверены отдельно; новой слепой сверкой доказательства это не является.

Примечания к источнику

Условие переформулировано по официальному варианту. Развёрнутый разбор написан заново и сверен с официальным решением.

Официальная ссылка ведёт на ZIP. Внутри него условие и разбор находятся в файле «Вариант 7--8 классы вариант 1.pdf»; указанные страницы относятся к этому PDF, а не к номеру задачи.

Идеализированная модель постоянной скорости. Въезд разрешён с момента включения зелёного; если выход с перехода совпал бы с началом красного, участница уже не оставалась бы на нём. Найденный максимум требует только первого соглашения: второй въезд происходит ровно при включении зелёного.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Нужна школьная база

Путь как произведение скорости на время
перевод единиц времени

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →