Медиана встретилась с биссектрисой под прямым углом

Найдите равные стороны внутри большого треугольника

Обозначим через $D$ точку пересечения $AM$ и $BL$. Зачем смотреть на маленький треугольник $ABM$? В нём уже соединены известная сторона $AB$ и половина неизвестной стороны $BC$.

Луч $BM$ совпадает с лучом $BC$, поэтому $BD$ делит пополам и угол $ABM$:

Треугольники $ABD$ и $MBD$ прямоугольные. У них общая сторона $BD$ и равные прилежащие к ней углы: при $D$ — прямые, при $B$ — половины одного угла. По стороне и двум прилежащим углам треугольники равны.

Значит, их гипотенузы равны:

Открыть модель к этому разбору ↑

Определите вторую сторону и ограничения на третью

Так как $M$ — середина $BC$, получаем

Пусть $AC=c$. Для невырожденного треугольника со сторонами $7$, $14$, $c$ нужно и достаточно, чтобы любая сторона была меньше суммы остальных. Для неизвестной стороны это даёт

Число $c$ целое. Равенство $c=7$ уже исключено строгой границей; $c=14$ исключаем отдельно, потому что тогда $AC=BC$, а стороны должны быть различными.

Переведите длины в периметры

Допустимы

Периметр $p=7+14+c=21+c$. Получаем две группы целых значений:

Пропуск $p=35$ соответствует запрещённому равенству $c=14$.

Докажите, что каждый кандидат действительно возможен

Необходимые ограничения дали кандидатов, но надо убедиться, что каждое значение возможно.

Возьмём любое найденное $c$ и треугольник со сторонами $AB=7$, $BC=14$, $AC=c$. Строгие неравенства обеспечивают существование; исключённые равенства — различие сторон.

Для середины $M$ выполнено $BM=7=AB$. Треугольник $ABM$ равнобедренный с вершиной $B$. Его биссектриса одновременно является высотой к $AM$. Она же делит пополам угол $ABC$, значит, $AM\perp BL$.

Все условия исходной задачи выполнены. Каждый перечисленный периметр действительно реализуется.