Четыре строки с растущими суммами

Ограничьте сумму первой строки и пропущенное число

Пусть сумма первой строки равна $x$, а неиспользованное число — $a$. Тогда суммы строк равны $x,x+1,x+2,x+3$. Сумма всех восьми клеток:

С другой стороны, сумма чисел от $1$ до $9$ равна $45$; из неё надо убрать $a$. Следовательно,

Из $1\le a\le9$ и остатка $3$ при делении на $4$ получаем лишь $a=3$ или $a=7$. В первом случае $x=9$, во втором $x=8$. Итак, возможны только два набора сумм строк: $9,10,11,12$ и $8,9,10,11$.

Уточните, что именно считаем сначала

Сначала будем считать строку неупорядоченной парой: $\{1,8\}$ и $\{8,1\}$ пока не различаем. Порядок самих строк уже задан возрастающими суммами.

Останется найти все разбиения восьми выбранных чисел на четыре пары без повторений. А различие левой и правой клетки учтём отдельно в конце. Так один перебор не смешивает две разные задачи подсчёта.

Разберите случай, когда не использована тройка

Если не использована $3$, остаются $1,2,4,5,6,7,8,9$; суммы строк — $9,10,11,12$. Первая пара с суммой $9$ может быть только $\{1,8\}$, $\{2,7\}$ или $\{4,5\}$.

Для каждого выбора перечислим все доступные вторые пары с суммой $10$:

Все первые и вторые пары рассмотрены. Получилось ровно два распределения.

Открыть модель к этому разбору ↑

Разберите случай, когда не использована семёрка

Если не использована $7$, остаются $1,2,3,4,5,6,8,9$; суммы строк — $8,9,10,11$.

Первая пара может быть $\{3,5\}$ или $\{2,6\}$. Пара $\{1,7\}$ запрещена отсутствием семёрки, а $\{4,4\}$ повторяла бы число.

Здесь тоже ровно два распределения. Вместе с предыдущим случаем их четыре.

Верните различие левой и правой клеток

У каждого распределения в каждой строке стоят два разных числа. Их можно разместить двумя способами: например, $1,8$ или $8,1$. Выборы в четырёх строках независимы:

Разные распределения не дадут одну и ту же таблицу: хотя бы в одной строке у них разные пары. Поэтому складываем без повторного счёта:

Множителя $4!$ нет: перестановка строк нарушила бы заданный порядок их сумм.