Буквы в квадрате трёхзначного числа

Используйте повторяющийся конец числа

Пусть $n=\overline{\text{ТУК}}$, а $a=\overline{\text{ФАР}}$. Повторение последних трёх цифр даёт

Поэтому

Произведение двух последовательных чисел делится на $1000$. Пока использовано только совпадение последних цифр; разные буквы проверим после отбора кандидатов.

Распределите простые множители

Разложим делитель:

Числа $n$ и $n-1$ взаимно просты: их общий делитель должен делить разность $1$. Поэтому все три двойки находятся в одном из них, а все три пятёрки — в одном из них.

Оба множителя $8$ и $125$ не могут оказаться в одном числе: тогда оно делилось бы на $1000$, хотя

Значит, одно число делится на $8$, другое — на $125$. Первое чётное; его сосед, делящийся на $125$, нечётный.

Оставьте только две соседние пары

Нечётные кратные $125$ в диапазоне от $99$ до $999$ — это $125$, $375$, $625$ и $875$. Проверим, может ли сосед делиться на $8$.

В паре $n-1,n$ число $n$ больше. Остаются только $n=376$ и $n=625$.

Проверьте различие цифр

Для первого кандидата

Он повторяет нужный конец, но в записи $\overline{\text{ФАРТУК}}$ получились бы $\text{Ф}=1$ и $\text{Р}=1$. Разные буквы не могут обозначать одну цифру.

У второго кандидата

Все шесть цифр различны; первые цифры обоих чисел не нулевые; последние три цифры квадрата совпадают с множителем. Все требования выполнены.

Запишите именно требуемое число

Нужен не множитель $\overline{\text{ТУК}}=625$, а шестизначный результат. Поэтому