Ломоносов

В окружности радиуса $5$ проведены три различные хорды. Все они проходят через одну точку $P$, причём $P$ является серединой двух из этих хорд. Определите наименьшую длину, которую при таких условиях может иметь третья хорда.

Найдите все четырёхзначные натуральные числа $n$, для которых первые четыре цифры десятичной записи $n^2$ совпадают с записью самого $n$. Если подходящих чисел несколько, итоговым ответом должно быть наименьшее из них; если ни одного нет — $0$.

В записи

каждая буква обозначает одну десятичную цифру. Одинаковые буквы означают одинаковые цифры, а разные буквы — разные. Число $\overline{\text{ТУК}}$ трёхзначное, $\overline{\text{ФАРТУК}}$ шестизначное, поэтому их первые цифры не равны нулю. Восстановите шестизначное число $\overline{\text{ФАРТУК}}$. Черта обозначает запись числа, а не произведение букв.

В треугольнике $ABC$ все три стороны имеют разные длины. Точка $M$ — середина стороны $BC$, а $BL$ — биссектриса угла $ABC$, где $L$ лежит на $AC$. Известно, что $AM\perp BL$ и $AB=7$. Длины $AC$ и $BC$ — целые числа. Найдите все возможные значения периметра $ABC$.

Участница выезжает из дома в момент $t=0$ и движется без остановок с одной постоянной положительной скоростью. До первого пешеходного перехода $50$ м, сам переход имеет ширину $30$ м. После него до второго перехода ещё $120$ м, ширина второго — $10$ м; школа находится сразу за ним.

На первом светофоре для пешеходов повторяется цикл: $30$ секунд красного, затем $50$ секунд зелёного. В момент старта его красный сигнал только включился. На втором светофоре красный и зелёный длятся по $50$ секунд; красный на нём включится через $10$ секунд после старта.

Найдите наибольшую скорость, при которой оба перехода будут пройдены целиком на зелёный: нельзя въезжать на красный и нельзя оставаться на переходе после включения красного. Останавливаться перед переходами или менять скорость по пути нельзя.

Для натурального числа $n$ обозначим через $S(n)$ сумму его десятичных цифр. Отберите все трёхзначные $n$, для которых $\frac{n}{S(n)}$ является целым числом, делящимся на $9$. Расположите подходящие числа по возрастанию и найдите сумму первого, шестого и последнего элементов списка.

В таблице четыре строки и два столбца, всего восемь клеток. В неё нужно вписать восемь различных чисел из набора $1,2,3,4,5,6,7,8,9$; одно число останется неиспользованным. В каждой следующей строке сумма двух чисел должна быть ровно на $1$ больше суммы предыдущей строки. Сколько существует заполнений? Положения клеток различаются: перестановка двух чисел внутри строки даёт другое заполнение.