Три хорды и одна общая точка

Свяжите середину хорды с центром

Назовём две пополам разделённые хорды $AB$ и $CD$, а центр окружности — $O$. Мы пока не знаем, совпадает ли он с $P$.

Радиусы $OA$ и $OB$ равны. Значит, $O$ одинаково удалён от $A$ и $B$, то есть лежит на серединном перпендикуляре к $AB$: прямой через середину отрезка под прямым углом к нему. По условию середина — $P$.

По той же причине $O$ лежит на перпендикуляре к $CD$, проведённом через $P$. Именно так два условия о серединах связываются с одним неизвестным центром.

Открыть модель к этому разбору ↑

Докажите, что общая точка — центр

Хорды $AB$ и $CD$ лежат на разных пересекающихся прямых. Поэтому их перпендикуляры тоже разные. Эти прямые пересекаются в $P$; при этом обе должны проходить через $O$.

Две разные прямые не могут иметь две общие точки. Следовательно, $O$ и $P$ — одна точка.

Это нельзя заключить только из рисунка: для одной хорды её середина могла бы не быть центром. Решающее значение имеют две различные хорды.

Определите длину третьей хорды

Третья хорда $EF$ тоже проходит через $P$, то есть через центр окружности. Поэтому она является диаметром:

Здесь нет выбора между более короткими и более длинными хордами: во всякой допустимой конфигурации третья хорда имеет одну и ту же длину.

Проверьте достижимость

Три различных диаметра одной окружности удовлетворяют всем условиям. Значит, допустимая конфигурация существует, а найденное значение $10$ действительно достигается.