Число в начале собственного квадрата

Определите число цифр у квадрата

Для четырёхзначного $n$ выполнено $1000\le n\le9999$. Значит,

Квадрат имеет семь или восемь цифр. После начального блока из четырёх цифр остаются соответственно три или четыре цифры.

Например, запись $1234\,567$ состоит из начального блока $1234$ и остатка $567$:

Это пример разбиения записи на блоки, а не утверждение о квадрате $1234$. Тот же приём применим к неизвестному квадрату.

Исключите восемь цифр

Если квадрат восьмизначный и начинается с записи $n$, то

Последние четыре цифры дают неотрицательный остаток, поэтому $n^2\ge10\,000n$. Делим на положительное $n$:

Это противоречит четырёхзначности. Подходящий квадрат может быть только семизначным.

Разберите семь цифр

Для семизначного квадрата после начального блока остаются три цифры:

Они могут быть, например, $007$ или $000$: остаток не обязан быть трёхзначным числом. Переносим слагаемое и выносим $n$:

Если $n\ge1001$, то $n-1000\ge1$. Левая часть не меньше $1001$, тогда как правая не больше $999$. Противоречие.

Из четырёхзначных чисел остаётся только $n=1000$.

Проверьте оставшийся кандидат

Проверяем найденное число:

Первые четыре цифры — $1000$, последние три — $000$. Условие выполнено. Мы также исключили все восьмизначные квадраты и все остальные семизначные случаи, поэтому найденное число единственно.