Физтех 2026/27 · Математика · 10 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

Вася вычислил сумму $\dfrac{1}{1^4+1^2+1}+\dfrac{2}{2^4+2^2+1}+\ldots+\dfrac{100}{100^4+100^2+1}$ и записал её в виде дроби $\dfrac{m}{n}$ где $m$ и $n$ — натуральные числа. Какую наименьшую сумму может принимать величина $m+n$

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026)
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2026/27

Сложи первые слагаемые по одному: $\dfrac{1}{3}$ затем $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{21}$ , затем ещё $\dfrac{3}{91}$ Есть ли закономерность в получающихся дробях? В модели можно складывать слагаемые и смотреть на точную сумму. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКостяшки домино

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Костяшки домино

Какая получается сумма и почему почти всё сокращается?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Сложи первые два слагаемых суммы, потом прибавь третье и четвёртое и каждый раз сократи дробь. Сравни числитель с половиной числа N(N + 1), а знаменатель — с числом N² + N + 1.

Подсказка 1

Разложи знаменатель на множители: $k^4 + k^2 + 1 = (k^2 + 1)^2 - k^2$ . Чем отличаются получившиеся множители?

Подсказка 2

Множители $k^2 - k + 1$ и $k^2 + k + 1$ отличаются на $2k$ поэтому

\begin{aligned} &\frac{k}{(k^2 - k + 1)(k^2 + k + 1)} \\[0.45em] &= \frac{1}{2}\biggl(\frac{1}{k^2 - k + 1} \\[0.45em] &\qquad - \frac{1}{k^2 + k + 1}\biggr). \end{aligned}

А ещё $(k + 1)^2 - (k + 1) + 1 = k^2 + k + 1$ — сумма «сворачивается».

Разобрать решение по шагам

Разложение знаменателя

Складывать сто дробей с разными знаменателями напрямую безнадёжно, поэтому попробуем разложить знаменатель. Добавим и вычтем $k^2$ чтобы получить разность квадратов:

\begin{aligned} &k^4 + k^2 + 1 \\[0.45em] &= (k^4 + 2k^2 + 1) - k^2 \\[0.45em] &= (k^2 + 1)^2 - k^2 \\[0.45em] &= (k^2 - k + 1)(k^2 + k + 1) \end{aligned}

Каждая дробь — разность двух

Множители отличаются ровно на $2k$ $(k^2 + k + 1) - (k^2 - k + 1) = 2k$ . Поэтому

\begin{aligned} &\frac{1}{k^2 - k + 1} - \frac{1}{k^2 + k + 1} \\[0.45em] &= \frac{2k}{k^4 + k^2 + 1}, \end{aligned}

и, разделив на $2$ получаем

\begin{aligned} &\frac{k}{k^4 + k^2 + 1} \\[0.45em] &= \frac{1}{2}\biggl(\frac{1}{k^2 - k + 1} \\[0.45em] &\qquad - \frac{1}{k^2 + k + 1}\biggr). \end{aligned}

Сумма сворачивается

Заметим, что «правый» знаменатель слагаемого с номером $k$ совпадает с «левым» знаменателем следующего: $(k + 1)^2 - (k + 1) + 1 = k^2 + 2k + 1 - k - 1 + 1 = k^2 + k + 1$ . Выпишем сумму, вынеся общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

\begin{aligned} \frac{1}{2}\biggl(&\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \\[0.45em] &+ \frac{1}{7} - \frac{1}{13} + \ldots \\[0.45em] &+ \frac{1}{9901} - \frac{1}{10101}\biggr). \end{aligned}

Каждая промежуточная дробь входит один раз с плюсом и один раз с минусом, остаются только первая и последняя ( $100^2 + 100 + 1 = 10101$ ):

\begin{aligned} &\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{10101}\right) \\[0.45em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{10100}{10101} = \frac{5050}{10101}. \end{aligned}

Несократимость и ответ

Сумма $m + n$ наименьшая, когда дробь $\dfrac{m}{n}$ несократима: любая другая запись — это $\dfrac{dm}{dn}$ с $d \geqslant 2$ Проверим, что $\dfrac{5050}{10101}$ несократима. Пусть $d$ — общий делитель чисел $5050 = \dfrac{100 \cdot 101}{2}$ и $10101 = 100 \cdot 101 + 1$ . Тогда $d$ делит $100 \cdot 101$ и $100 \cdot 101 + 1$ а значит, и их разность $1$ Итак, $d = 1$ (можно и разложить: $5050 = 2 \cdot 5^2 \cdot 101$ , $10101 = 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 37$ ).

m + n = 5050 + 10101 = 15151.

Проверка

Проверка начала: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{21} = \dfrac{9}{21} = \dfrac{3}{7}$ , и формула $\dfrac{\frac{N(N + 1)}{2}}{N^2 + N + 1}$ при $N = 2$ даёт $\dfrac{3}{7}$ ✓; при $N = 3$ — $\dfrac{6}{13}$ и правда $\dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{91} = \dfrac{42}{91} = \dfrac{6}{13}$ ✓. Тест правила честно складывает все дроби точными целыми числами (BigInt) и для каждого $N$ до $400$ получает ту же несократимую дробь. Другие официальные версии: ID 6390 — до $115$ $\dfrac{6670}{13341}$ $m + n = 20011$ ID 6391 — до $120$ $\dfrac{7260}{14521}$ $21781$ ID 6392 — до $150$ $\dfrac{11325}{22651}$ $33976$

Ответ

$15151$

Ответ

$15151$

Главная идея

$k^4 + k^2 + 1 = (k^2 - k + 1)(k^2 + k + 1)$ , множители отличаются на $2k$ и слагаемое равно половине разности $\dfrac{1}{k^2 - k + 1} - \dfrac{1}{k^2 + k + 1}$ ; соседние дроби сокращаются, остаётся $\dfrac12\Bigl(1 - \dfrac{1}{N^2 + N + 1}\Bigr)$ .

Сумма дробей с многочленом в знаменателе — разложи знаменатель и ищи представление слагаемого разностью, где «хвост» одного слагаемого равен «голове» следующего (телескопическая сумма).

Где легко ошибиться

Не сократить дробь или считать её сократимой; написать в конце $\dfrac{1}{N^2 - N + 1}$ вместо $\dfrac{1}{N^2 + N + 1}$ потерять множитель $\dfrac12$

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026). Задача 9, версия с ID 6389 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6390, 6391, 6392) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до сверки с указаниями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Указания к решению: математика, 10 класс, 2 попытка 2026/27», стр. 6–7 ↗: ID 6389: 15151; ID 6390: 20011; ID 6391: 21781; ID 6392: 33976.). Сверены все четыре официальные версии этого номера. Таблица официальных ответов была прочитана при разборе входных данных до собственного решения; указания к решению не открывались.

Продолжить тему: Последовательности и суммы →

Тема, знания и приёмы

Последовательности и суммы · Нужна школьная база

Разность квадратов
Сложение дробей
Наибольший общий делитель

Приёмы решения: Разложение на множители

Задать вопрос по задаче →