Задача 8. Делимость на целую часть кубического корня

Группы с одинаковой целой частью корня

Условие «$n$ делится на $[\sqrt[3]{n}]$» зависит от того, чему равен $[\sqrt[3]{n}]$, поэтому разобьём числа на группы с одинаковым значением $k = [\sqrt[3]{n}]$. Равенство $[\sqrt[3]{n}] = k$ означает $k \leqslant \sqrt[3]{n} < k + 1$, то есть

Для $n$ от $1$ до $1000$ получаются группы $k = 1, 2, \ldots, 9$ целиком (последняя — от $729$ до $999$) и группа $k = 10$, от которой в наш отрезок попадает только $n = 1000$.

Сколько кратных k в одной группе

В группе $k$ нужно сосчитать числа, делящиеся на $k$. Оба конца группы делятся на $k$: $k^3 = k \cdot k^2$ и $k^3 + 3k^2 + 3k = k\,(k^2 + 3k + 3)$. Значит, кратные $k$ в группе — это

а их количество равно количеству чисел от $k^2$ до $k^2 + 3k + 3$, то есть $3k + 4$. Например, при $k = 3$ в группе $27, \ldots, 63$ кратных $3$ ровно $13 = 3 \cdot 3 + 4$.

Сумма по полным группам

Для $k = 1, \ldots, 9$:

Последнее число и ответ

В группе $k = 10$ из нашего отрезка только число $1000$, и оно делится на $[\sqrt[3]{1000}] = 10$. Итого $171 + 1 = 172$.