Задача 1. Чётная сумма цифр в прогрессии

Последняя цифра — 4 или 9

Член с номером $k + 1$ равен $4 + 5k$. Прибавление $5$ меняет последнюю цифру $4 \to 9 \to 4 \to 9 \ldots$ (ведь $9 + 5 = 14$). Поэтому члены прогрессии — это числа вида

Например, $4$ и $9$ ($m = 0$), $14$ и $19$ ($m = 1$), $2054$ и $2059$ ($m = 205$).

В каждой паре ровно одна чётная сумма

Зачем пары? У чисел $10m + 4$ и $10m + 9$ одинаковые все цифры, кроме последней (это цифры числа $m$). Значит, их суммы цифр равны $s(m) + 4$ и $s(m) + 9$, где $s(m)$ — сумма цифр числа $m$. Эти суммы отличаются на $5$ — на нечётное число, поэтому одна из них чётная, а другая нечётная. Например, $14$: $1 + 4 = 5$ (нечётная), $19$: $1 + 9 = 10$ (чётная).

Итак, каждая полная пара даёт ровно один член с чётной суммой цифр — неважно, какой именно.

Сколько членов и сколько пар

Членов, не превосходящих $2064$: из $4 + 5k \leqslant 2064$ получаем $k \leqslant 412$, то есть $k = 0, 1, \ldots, 412$ — всего $413$ членов. Пары идут подряд: $(4, 9), (14, 19), \ldots$, в каждой два члена, поэтому

это $206$ полных пар ($m = 0, 1, \ldots, 205$, последняя — $2054$ и $2059$) и один член без пары — последний, $2064$.

Последний член и ответ

У последнего члена $2064$ сумма цифр $2 + 0 + 6 + 4 = 12$ — чётная, он тоже подходит. Пара для него ($2069$) уже больше $2064$, поэтому её не рассматриваем. Всего