Физтех 2026/27 · Математика · 10 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

На табло пять окошек, в каждом из которых горит целое число от 0 до 8. Набор чисел $(a,b,c,d,e)$ показанный слева направо, считается правильным, если первое число ненулевое ( $a\ge1$ ), второе равно сумме своих соседей ( $b=a+c$ ), а четвёртое равно сумме своих соседей ( $d=c+e$ ). Сколько существует различных правильных наборов?

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026)
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2026/27

Выставь в модели несколько правильных наборов. Какие окошки ты выбираешь сам, а какие загораются сами? Что мешает набору быть правильным? Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТабло

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Табло

Сколько правильных наборов можно показать на табло?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Зафиксируй c = 3 и выпиши все возможные a (так, чтобы a + 3 ≤ 8, a ≥ 1) и все возможные e (3 + e ≤ 8). Сколько получилось пар?

Подсказка 1

Какие окошки можно выбирать свободно, а какие вычисляются? Что ограничивает выбор свободных чисел?

Подсказка 2

Свободны $a$ $c$ $e$ Перебирай по среднему числу $c$ при данном $c$ первое число $a$ принимает $8 - c$ значений ( $1, \ldots, 8 - c$ ), пятое $e$ — $9 - c$ значений ( $0, \ldots, 8 - c$ ). Сложи произведения.

Разобрать решение по шагам

Свободные числа: a, c, e

Если выбраны $a$ $c$ $e$ то $b = a + c$ и $d = c + e$ определены однозначно. Поэтому правильный набор — то же самое, что тройка $(a, c, e)$ при которой все пять чисел помещаются в окошки. Разные тройки дают разные наборы, и наоборот.

Ограничения

Нужно: $a \geqslant 1$ $a, c, e$ от $0$ до $8$ $b = a + c \leqslant 8$ $d = c + e \leqslant 8$ Неравенства $b \leqslant 8$ и $d \leqslant 8$ сильнее, чем $a \leqslant 8$ $c \leqslant 8$ $e \leqslant 8$ поэтому достаточно

a \geqslant 1, \qquad a + c \leqslant 8, \qquad c + e \leqslant 8.

Счёт при фиксированном c

Зачем фиксировать $c$ оно входит в оба неравенства, а $a$ и $e$ после этого выбираются независимо. При данном $c$ число $a$ — от $1$ до $8 - c$ это $8 - c$ вариантов; число $e$ — от $0$ до $8 - c$ это $9 - c$ вариантов. Наборов $(8 - c)(9 - c)$

$c$	наборов $(8 - c)(9 - c)$
$0$	$8 \cdot 9 = 72$
$1$	$7 \cdot 8 = 56$
$2$	$6 \cdot 7 = 42$
$3$	$5 \cdot 6 = 30$
$4$	$4 \cdot 5 = 20$
$5$	$3 \cdot 4 = 12$
$6$	$2 \cdot 3 = 6$
$7$	$1 \cdot 2 = 2$
$8$	$0 \cdot 1 = 0$

Сумма

\begin{aligned} &72 + 56 + 42 + 30 + 20 \\[0.45em] &+ 12 + 6 + 2 + 0 = 240. \end{aligned}

В общем виде, если в окошках числа от $0$ до $m$ получается $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + m(m+1) = \dfrac{m(m+1)(m+2)}{3}$ ; при $m = 8$ $\dfrac{8 \cdot 9 \cdot 10}{3} = 240$ . (Формулу легко проверить по индукции: добавляя слагаемое $(m+1)(m+2)$ получаем $\dfrac{(m+1)(m+2)(m+3)}{3}$ .)

Проверка

Прямой перебор всех $9^5$ наборов чисел от $0$ до $8$ в тесте модели находит ровно $240$ правильных. Другие официальные версии: ID 6374 (от $0$ до $7$ ): $\dfrac{7 \cdot 8 \cdot 9}{3} = 168$ ; ID 6375 (от $0$ до $10$ ): $\dfrac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3} = 440$ ; ID 6376 (от $0$ до $11$ ): $\dfrac{11 \cdot 12 \cdot 13}{3} = 572$ .

Ответ

$240$

Ответ

$240$

Главная идея

Свободны только a, c, e; при фиксированном c число a принимает 8 − c значений, e — 9 − c, независимо; сумма (8 − c)(9 − c) по c равна 240.

Подсчёт наборов с условиями-суммами: выделить свободные переменные и зафиксировать общую переменную.

Где легко ошибиться

Забыть a ≥ 1 (получится Σ(9 − c)² = 285); считать e от 1; не учесть, что b и d тоже должны помещаться в окошко.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026). Задача 5, версия с ID 6373 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6374, 6375, 6376) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до сверки с указаниями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Указания к решению: математика, 10 класс, 2 попытка 2026/27», стр. 3–4 ↗: ID 6373: 240; ID 6374: 168; ID 6375: 440; ID 6376: 572.). Сверены все четыре официальные версии этого номера. Таблица официальных ответов была прочитана при разборе входных данных до собственного решения; указания к решению не открывались.

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Правило произведения
Сумма вида 1·2 + 2·3 + … + m(m + 1)

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →