Задача 2. Четыре корня в арифметической прогрессии

Корни симметричны относительно нуля

В уравнение $x$ входит только в чётных степенях, поэтому вместе с корнем $x$ корнем будет и $-x$. Нуль корнем быть не может: иначе $q = 0$, и уравнение $x^2(x^2 - 10) = 0$ имеет только три различных корня. Значит, четыре различных корня разбиваются на две пары противоположных чисел:

Прогрессия даёт b = 3a

Корни, выписанные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию, значит, расстояния между соседними одинаковые. Среднее расстояние — от $-a$ до $a$ — равно $2a$, поэтому и $b - a = 2a$:

Замена t = x² и теорема Виета

Обозначим $t = x^2$. Уравнение превращается в квадратное $t^2 - 10t + q = 0$, и каждому его положительному корню $t$ соответствуют два корня $x = \pm\sqrt{t}$. Наши корни дают $t_1 = a^2$ и $t_2 = (3a)^2 = 9a^2$. По теореме Виета

Отсюда $a^2 = 1$ и $q = a^2 \cdot 9a^2 = 1 \cdot 9 = 9$.

Проверка подстановкой

При $q = 9$: $x^4 - 10x^2 + 9 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = 0$, корни $-3, -1, 1, 3$ — четыре различных числа с разностью $2$. В общем виде для $x^4 - cx^2 + q = 0$ получается $a^2 = \dfrac{c}{10}$ и