Задача 7. Два квадрата на гипотенузе

Как стоят квадраты

Положим гипотенузу $AB$ горизонтально, вершину прямого угла $C$ — сверху. Пусть $AC = p$, $BC = q$, $AB = c$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. Квадрат со стороной $x$ стоит на гипотенузе ближе к $A$, его верхняя левая вершина лежит на катете $AC$; квадрат со стороной $y$ — ближе к $B$, верхняя правая вершина на $BC$; квадраты примыкают друг к другу.

Слева от первого квадрата получается маленький прямоугольный треугольник: катет — левая сторона квадрата (длина $x$), угол при $A$ равен $\alpha$. Его второй катет, «ступенька» на гипотенузе, равен $x \operatorname{ctg}\alpha$. Так же ступенька у $B$ равна $y \operatorname{ctg}\beta$.

Связь между x и y

Гипотенуза складывается из ступеньки у $A$, нижней стороны первого квадрата, нижней стороны второго и ступеньки у $B$ (рисунок):

Котангенсы выражаются через катеты: $\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{p}{q}$, $\operatorname{ctg}\beta = \dfrac{q}{p}$. Обозначим $a = 1 + \dfrac{p}{q} = \dfrac{p + q}{q}$, $b = 1 + \dfrac{q}{p} = \dfrac{p + q}{p}$; тогда связь — $ax + by = c$. Чем больше один квадрат, тем меньше другой; нужно найти, при каком положении сумма площадей $x^2 + y^2$ наименьшая.

Наименьшая сумма площадей

Для любых чисел верно тождество

его можно проверить, раскрыв скобки. Поэтому $x^2 + y^2 \geqslant \dfrac{(ax + by)^2}{a^2 + b^2} = \dfrac{c^2}{a^2 + b^2}$, а равенство — при $ay = bx$, то есть $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{p}{q}$.

Посчитаем знаменатель:

Значит, если равенство возможно,

Осталось проверить, что положение равенства действительно возможно: оба квадрата помещаются в треугольник. При $ay = bx$ из $ax + by = c$ получаем $x \cdot \dfrac{a^2 + b^2}{a} = c$, то есть $x = \dfrac{ca}{a^2 + b^2}$. Стык квадратов стоит от вершины $A$ на расстоянии «ступенька плюс сторона»:

Проведём высоту $CH$ на гипотенузу. Треугольники $ACH$ и $ABC$ подобны (общий угол $\alpha$ и прямой угол), поэтому $\dfrac{AH}{AC} = \dfrac{AC}{AB}$ и $AH = \dfrac{p^2}{c}$. Значит, стык квадратов стоит ровно над основанием высоты $H$, а общая сторона квадратов лежит на высоте $CH$.

Теперь видно, что квадраты помещаются. Левый квадрат лежит в прямоугольном треугольнике $ACH$: одна его вершина — $H$, нижняя сторона на $AH$, правая сторона на $CH$, верхняя левая вершина на $AC$. Эта вершина лежит между $A$ и $C$ (её проекция на гипотенузу — между $A$ и $H$), поэтому её высота $x$ меньше высоты $CH$ — правая сторона квадрата не выходит за отрезок $CH$, и весь квадрат внутри треугольника $ACH$. Так же правый квадрат лежит в треугольнике $BCH$. Значит, наименьшее значение $\left(\dfrac{pq}{p + q}\right)^2$ достигается.

Катеты

По условию $\left(\dfrac{pq}{p + q}\right)^2 = 16$, то есть $\dfrac{pq}{p + q} = 4$. Площадь $\dfrac{pq}{2} = 36$, то есть $pq = 72$. Тогда $p + q = \dfrac{72}{4} = 18$. Числа $p$ и $q$ с суммой $18$ и произведением $72$ — корни уравнения

Ответ

Катеты равны $6$ и $12$, больший катет — $12$. В наименьшем положении $\dfrac{x}{y} = \dfrac{6}{12}$: $x = \dfrac{4}{\sqrt 5} \approx 1{,}79$, $y = \dfrac{8}{\sqrt 5} \approx 3{,}58$, и действительно $x^2 + y^2 = \dfrac{16}{5} + \dfrac{64}{5} = 16$.