Задача 3. Площади в правильном многоугольнике

MNKL — прямоугольник

$MK$ и $NL$ проходят через центр $O$ описанной окружности — это диаметры. У четырёхугольника $MNKL$ диагонали равны ($2R$) и делятся точкой $O$ пополам, поэтому $MNKL$ — прямоугольник.

Каждая доля — четверть прямоугольника

Пусть у многоугольника $2n$ сторон. Отрезки из центра $O$ к вершинам режут его на $2n$ равных треугольников — назовём их долями.

Диагонали $MK$ и $NL$ делят прямоугольник $MNKL$ на четыре треугольника $OMN$, $ONK$, $OKL$, $OLM$. Их площади равны: у треугольников $OMN$ и $ONK$ общая высота из вершины $N$, а основания $OM$ и $OK$ равны — это половины диагонали $MK$; так же и для остальных пар соседей. Поэтому каждый из четырёх треугольников — четверть прямоугольника:

Но $M$ и $N$ — соседние вершины, так что треугольник $OMN$ — это и одна из долей многоугольника. Значит, каждая доля имеет площадь $\dfrac{Q}{4} = 12$, а весь многоугольник — $2n \cdot \dfrac{Q}{4} = \dfrac{nQ}{2}$.

Проверка через тригонометрию: при радиусе $R$ и центральном угле $\theta = \dfrac{180^\circ}{n}$ площадь прямоугольника $Q = \dfrac12 \cdot 2R \cdot 2R \cdot \sin\theta = 2R^2\sin\theta$, а доля $\dfrac12 R^2\sin\theta = \dfrac{Q}{4}$ — то же самое.

Половина = треугольник MNK + часть за NK

Зачем диаметр $MK$: он делит правильный многоугольник на две равные половины, по $n$ центральных треугольников, площадью $n \cdot \dfrac{Q}{4}$. Половина, содержащая $N$, состоит из треугольника $MNK$ и части за прямой $NK$ (той, где нет $M$), то есть как раз из искомой части $P$. Треугольник $MNK$ — половина прямоугольника, его площадь $\dfrac{Q}{2}$. Получаем

Число сторон

Подставим $Q = 48$, $P = 60$: $12n = 24 + 60 = 84$, $n = 7$, сторон $2n = 14$. В общем виде