Дана арифметическая прогрессия с первым членом 4 и разностью 5. Сколько её членов, не превосходящих 2064, имеют чётную сумму цифр?

Уравнение $x^4-10x^2+q=0$ имеет четыре различных действительных корня, образующих арифметическую прогрессию. Найдите $q$.

В правильном многоугольнике с чётным числом сторон взяты две соседние вершины $M$ и $N$, а также вершина $K$, диаметрально противоположная $M$, и вершина $L$, диаметрально противоположная $N$ в его описанной окружности. Площадь четырёхугольника $MNKL$ равна 48, а площадь той части многоугольника, которая лежит вне $MNKL$ по ту сторону от прямой $NK$, где нет вершины $M$, равна 60. Сколько сторон у многоугольника?

В треугольник $ABC$ со сторонами $BC=13$, $CA=14$, $AB=15$ вписана окружность $\Omega$. Рассматриваются всевозможные окружности, касающиеся прямых $AB$ и $AC$ и касающиеся окружности $\Omega$. Найдите наибольшее значение, которое может принимать радиус такой окружности. Ответ округлите до трёх знаков после запятой.

На табло пять окошек, в каждом из которых горит целое число от 0 до 8. Набор чисел $(a,b,c,d,e)$, показанный слева направо, считается правильным, если первое число ненулевое ($a\ge1$), второе равно сумме своих соседей ($b=a+c$), а четвёртое равно сумме своих соседей ($d=c+e$). Сколько существует различных правильных наборов?

Сколькими способами можно заполнить клетки таблицы $4\times4$ нулями и единицами так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел была чётной?

В прямоугольный треугольник вписаны два квадрата: у каждого одна сторона лежит на гипотенузе треугольника, одна вершина лежит на катете, причём квадраты примыкают друг к другу одной из сторон. Наименьшее значение суммы площадей таких квадратов равно $16$. Найдите больший катет треугольника, если его площадь равна $36$.

Сколько среди чисел $1,2,\ldots,10^3$ таких $n$, что $n$ делится на $[\sqrt[3]{n}]$? Здесь $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Вася вычислил сумму $\dfrac{1}{1^4+1^2+1}+\dfrac{2}{2^4+2^2+1}+\ldots+\dfrac{100}{100^4+100^2+1}$ и записал её в виде дроби $\dfrac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа. Какую наименьшую сумму может принимать величина $m+n$?

Числа $a_1,\ldots,a_{5}$ могут принимать одно из трёх значений: 0, 1 и −1. Обозначим через $S$ сумму всех попарных их произведений $a_i\cdot a_j$ ($i<j$). Во скольких упорядоченных наборах $(a_1,\ldots,a_{5})$ величина $S$ принимает своё наименьшее возможное значение?