Математика · 10 класс

В непрозрачном мешке лежат $1500$ одинаковых на ощупь жетонов, занумерованных числами от $1$ до $1500$ (каждое число ровно на одном жетоне). Жетон называют счастливым, если его номер делится на $11$ или на $48$. Какое наименьшее число жетонов нужно вытащить из мешка (не глядя), чтобы среди вытащенных наверняка оказался хотя бы один счастливый?

Имеются монеты трёх достоинств: $4$, $6$ и $7$ (в некоторой валюте). Сколько существует натуральных сумм, которые невозможно набрать этими монетами (используя любое число монет каждого достоинства)?

В треугольнике $ABC$ с наибольшим углом $C$ проведены биссектрисы $BP$ и $AQ$. Из вершины $C$ опущены перпендикуляры $CR$ и $CS$ на $BP$ и $AQ$ соответственно. Вычислите длину $RS$, если

$$\begin{gathered} CR=65,\\[4pt] \sin\angle CAQ=\frac{11}{61},\\[4pt] \sin\angle CBP=\frac5{13}. \end{gathered}$$

Многочлен $P(x)$ имеет старший коэффициент $1$ и степень $6$, причём $P(k)=k$ при всех $k=1,2,\ldots,6$. Найдите $P(7)$.

Найдите наименьший возможный радиус вписанной окружности треугольника $ABC$, если радиус его описанной окружности равен $\dfrac{7\sqrt3}{3}$, $BC=7$ и $AC=3$. В ответ укажите квадрат искомой величины, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

Перед открытием чемпионата Хогвартса по квиддичу капитаны четырёх факультетских команд и Минерва МакГонагалл приносят Альбусу Дамблдору по одному листку со значениями неизвестного многочлена с натуральными коэффициентами $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Если построенная система из $5$ уравнений позволяет однозначно найти коэффициенты многочлена, то последовательностью $abcd$ открывают кодовый замок на ящике с мячами. Утром в день начала чемпионата проф. МакГонагалл доложила Дамблдору, что ночью Пивз из хулиганских побуждений заменил листочки двум командам, увеличив на них значения многочлена на одно и то же двузначное число. Но ни команды, ни число не известны. Дамблдор попросил принести ему все $5$ листков и через некоторое время восстановил исходную картину. Какое число прибавил Пивз, если у проф. МакГонагалл было $f(-6)=-192$, а капитаны принесли листочки с $f(-3)=-21$, $f(-1)=3$, $f(1)=83$ и $f(4)=170$?

Все числа от $1$ до $5$ выписали в ряд в каком-то порядке (каждое по одному разу). Расстановку этих чисел назовём хорошей, если в ней нельзя выбрать три числа $a,b,c$, стоящие именно в таком порядке слева направо (не обязательно подряд), для которых либо $a<b<c$ (три числа идут по возрастанию), либо $b<c<a$ (первое из трёх — самое большое, а два следующих идут по возрастанию). Сколько существует хороших расстановок?

По лестнице поднимаются, перемещаясь за один шаг на $1$, $2$ или $3$ ступени. Сколькими различными способами (учитывая порядок шагов) можно подняться ровно на $13$ ступеней?

За круглым столом сидят $19$ рыцарей, любые два соседа — на одном и том же расстоянии друг от друга. Три рыцаря готовы объединиться в союз, если центр стола находится внутри треугольника, соединяющего этих рыцарей. Сколькими способами можно выбрать тройку готовых союзничать рыцарей?

В параллелограмме $ABCD$ угол при вершине $C$ острый, а сторона $CD$ равна $13$. Окружность касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$ и пересекает диагональ $CA$ в двух точках $M$ и $N$, причём $CN<CM$. Найдите $MA$, если $CN=5{,}4$ и $CM=15$.