Многочлен с шестью известными значениями

Как превратить равенства $P(k)=k$ в равенства нулю для нового многочлена?

Рассмотрите $Q(x)=P(x)-x$. Какие у него корни, степень и старший коэффициент? Что это говорит о разложении на множители?

1. Превращаем значения в корни

Из равенства $P(k)=k$ легко получить ноль: $P(k)-k=0$. Поэтому вычтем из $P(x)$ сам аргумент и положим $Q(x)=P(x)-x$. Тогда $Q(k)=P(k)-k=0$ для $k=1,2,\ldots,6$. Вычитание $x$ не меняет член шестой степени, поэтому $Q$ имеет степень $6$ и старший коэффициент $1$.

2. Восстанавливаем $Q$ по корням

Если $Q(k)=0$, то $Q(x)$ делится на $x-k$. Шесть различных корней дают шесть множителей. Их произведение уже имеет степень $6$, поэтому остаётся только постоянный множитель. Старший коэффициент равен $1$, откуда $$\begin{aligned} Q(x)&=(x-1)(x-2)(x-3)\times\\ &\qquad\times(x-4)(x-5)(x-6). \end{aligned}$$

3. Вычисляем нужное значение

При $x=7$ находим значение вспомогательного многочлена:

$$\begin{aligned} Q(7)&=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\\ &=720. \end{aligned}$$

Возвращаем вычтенный член: $P(x)=Q(x)+x$. Поэтому

$$P(7)=720+7=727.$$

$727$

Вычитание подходящей простой функции превращает известные значения многочлена в известные корни.

Если в нескольких точках $P(x)$ совпадает с простым выражением, рассмотрите их разность и сравните число корней со степенью.

Ответить $720$: это значение $P(7)-7$, а не самого $P(7)$.

Сначала создавайте нули вычитанием, затем используйте степень и старший коэффициент, чтобы определить оставшийся множитель.

Шесть корней различны; степень точно 6, старший коэффициент 1. Формула

$$\begin{aligned} P(x)&=x+(x-1)(x-2)(x-3)\\ &\qquad\cdot(x-4)(x-5)(x-6) \end{aligned}$$

явно даёт существующий многочлен и все шесть исходных равенств; единственность следует из разложения.