Окружность у трёх сторон параллелограмма

Как связаны два отрезка секущей из $C$ и касательная из той же точки?

Обозначьте точки касания с $CD$, $BC$, $AD$. Какие отрезки равны как касательные из одной вершины? Что добавляет параллельность $BC$ и $AD$?

1. От секущей к касательным

Пусть $T,E,F$ — точки касания с $CD,BC,AD$ соответственно. По теореме о касательной и секущей

$$\begin{aligned} CT^2&=CN\cdot CM\\ &=5{,}4\cdot15=81. \end{aligned}$$

Значит, $CT=CE=9$. Точка $T$ лежит на стороне $CD$, поэтому $DT=13-9=4$. По равенству касательных из $D$ получаем $DF=4$.

Обозначим $BC=AD=b$. Касание именно стороны $BC$ требует $b\ge9$. Это ограничение понадобится при выборе корня.

2. Два прямоугольных треугольника

Окружность касается двух параллельных сторон. Её центр находится между содержащими их прямыми, а $EF$ перпендикулярно обеим.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра из $D$ на прямую $BC$. Проверим стороны четырёхугольника $HEFD$:

• $EF$ и $DH$ перпендикулярны параллельным прямым $BC$ и $AD$;
• $HE$ и $DF$ лежат на этих прямых.

Значит, $HEFD$ — прямоугольник. Его противоположные стороны равны и одинаково направлены:

$$\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{DF},\qquad HE=DF=4.$$

Точка $F$ лежит на стороне $DA$, значит, вектор $\overrightarrow{DF}$ направлен вдоль $\overrightarrow{DA}$, то есть вдоль $\overrightarrow{CB}$. Поэтому от $H$ к $E$ нужно пройти $4$ по прямой $CB$ в направлении от $C$ к $B$.

Точка $E$ находится на расстоянии $CE=9$ от $C$ в том же направлении; следовательно, $CH=9-4=5$ и точки расположены в порядке $C,H,E$. В прямоугольном треугольнике $CDH$ получаем

$$DH=\sqrt{13^2-5^2}=12.$$

Теперь опустим из $A$ перпендикуляр $AK$ на прямую $BC$. Так как $DA$ направлен так же, как $CB$, имеем $CK=CH+DA=5+b$ и $AK=12$. Обозначив $CA=L$, получаем

$$\begin{aligned} L^2&=(b+5)^2+12^2\\ &=b^2+10b+169. \end{aligned}$$

3. Ещё одна степень точки

После предыдущего шага у нас два неизвестных — $b$ и $L$ — и одно уравнение. Вторую связь даст та же окружность: теперь применим теорему о касательной и секущей из другого конца диагонали, точки $A$.

Диагональ как отрезок содержит $N$ и $M$, поэтому $L\ge15$. Так как $CN<CM$ и обе точки лежат на отрезке $CA$, получаем

$$\begin{aligned} AN&=L-5{,}4,\\ AM&=L-15. \end{aligned}$$

Точка $F$ лежит на стороне $AD$, и $AF=b-4$. Теорема о касательной и секущей из $A$ даёт

$$(L-15)(L-5{,}4)=(b-4)^2.$$

Раскроем скобки:

$$\begin{gathered} L^2-20{,}4L+81\\ =b^2-8b+16. \end{gathered}$$

Подставим $L^2=b^2+10b+169$ и сократим $b^2$ с обеих сторон:

$$\begin{gathered} 10b+169-20{,}4L+81\\ =-8b+16. \end{gathered}$$

Перенесём слагаемые и приведём подобные:

$$20{,}4L=18b+234.$$

Следовательно,

$$L=\frac{15(b+13)}{17}.$$

4. Два корня, но одно допустимое касание

Подставляем найденное $L$ в равенство $L^2=b^2+10b+169$:

$$\begin{gathered} 225(b+13)^2\\ =289(b^2+10b+169). \end{gathered}$$

После раскрытия скобок, переноса в одну сторону и деления на $16$ получаем

$$\begin{gathered} 4b^2-185b+676=0,\\ (b-4)(4b-169)=0. \end{gathered}$$

Корень $b=4$ противоречит $b\ge9$: точка $E$ лежала бы на продолжении $BC$. Поэтому

$$b=\frac{169}{4}.$$

Находим диагональ:

$$\begin{aligned} CA=L&=\frac{15}{17}\left(\frac{169}{4}+13\right)\\ &=\frac{195}{4}=48{,}75. \end{aligned}$$

Теперь строго установлено $0<CN<CM<CA$, то есть порядок $C,N,M,A$. Следовательно, $MA=CA-CM$, и

$$\begin{aligned} MA&=\frac{195}{4}-15\\ &=\frac{135}{4}=33{,}75. \end{aligned}$$

$33{,}75$

Сначала длины касательных задают поперечную геометрию параллелограмма, затем степени двух концов диагонали определяют оставшуюся сторону.

Когда одна окружность касается трёх сторон и пересекает диагональ, используйте произведения отрезков секущей у обоих концов и проверяйте расположение точек касания.

Принять $b=4$: алгебраическое уравнение это допускает, но тогда $CE=9>BC$. Окружность касалась бы продолжения стороны, что не удовлетворяет условию.

В задачах о касании сторон каждый найденный корень проверяйте не только по равенствам, но и по принадлежности точек отрезкам. Тема: касательная, секущая и степень точки.

Точка касания с $CD$ единственно делит её на $9$ и $4$. Из параллельности касательных следует диаметр $EF=DH=12$, радиус $6$. Оба положительных корня проверены; $b=4$ исключён именно условием касания стороны. Для оставшегося $b=\frac{169}{4}$ все три касания лежат внутри сторон, $\cos C=\frac5{13}>0$, так что угол $C$ острый. Проверочная реализация: $C=(0,0)$, $D=(13,0)$, $B=\left(\frac{65}{4},39\right)$, $A=\left(\frac{117}{4},39\right)$, центр окружности $(9,6)$, радиус $6$. Секущая $CA$ пересекает её на расстояниях $\frac{27}{5}$ и $15$ от $C$. Существование подтверждено. Из формулы $CA=\frac{195}{4}$ получено строгое положение $M$ внутри диагонали; его не предполагали за её концом.