Два треугольника с одной описанной окружностью

Какая теорема связывает сторону, противолежащий угол и радиус описанной окружности?

Подставьте данные в равенство $BC=2R\sin A$. Для найденного синуса проверьте оба возможных угла, затем определите $AB$ по теореме косинусов.

1. Почему треугольник не обязательно один

Обозначим $c=AB$, а радиус описанной окружности — $R=\dfrac{7\sqrt3}{3}$. По расширенной теореме синусов

$$\sin A=\frac{BC}{2R} =\frac{7\cdot3}{14\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{2}.$$

В интервале $0^\circ<A<180^\circ$ это даёт ровно две возможности: $A=60^\circ$ или $A=120^\circ$. Проверим обе, поскольку нужен наименьший радиус.

2. Острый угол $A$

Если $A=60^\circ$, теорема косинусов даёт

$$\begin{gathered} 7^2=3^2+c^2-2\cdot3c\cdot\frac12,\\ c^2-3c-40=0,\\ (c-8)(c+5)=0. \end{gathered}$$

Длина положительна, поэтому $c=8$. Обозначим площадь через $S$, полупериметр — через $p$. Тогда

$$\begin{aligned} S&=\frac12\cdot3\cdot8\sin60^\circ=6\sqrt3,\\[4pt] p&=\frac{3+7+8}{2}=9. \end{aligned}$$

Разобьём треугольник отрезками от центра вписанной окружности к вершинам. У трёх полученных треугольников высоты равны $r$, поэтому $S=rp$. Отсюда

$$\begin{aligned} r&=\frac Sp=\frac{6\sqrt3}{9}=\frac{2\sqrt3}{3},\\[4pt] r^2&=\frac43. \end{aligned}$$

3. Тупой угол $A$

Если $A=120^\circ$, то

$$\begin{gathered} 7^2=3^2+c^2-2\cdot3c\cdot\left(-\frac12\right),\\ c^2+3c-40=0,\\ (c-5)(c+8)=0. \end{gathered}$$

Теперь положительный корень равен $c=5$. Вычисляем площадь и полупериметр:

$$\begin{aligned} S&=\frac12\cdot3\cdot5\sin120^\circ\\ &=\frac{15\sqrt3}{4},\\[4pt] p&=\frac{3+7+5}{2}=\frac{15}{2}. \end{aligned}$$

По той же формуле $S=rp$ получаем

$$\begin{aligned} r&=\frac Sp=\frac{15\sqrt3}{4}\cdot\frac2{15}\\ &=\frac{\sqrt3}{2},\\[4pt] r^2&=\frac34. \end{aligned}$$

4. Сравниваем и проверяем достижимость

Неравенства треугольника выполняются для обеих троек сторон: $(3,7,8)$ и $(3,7,5)$. Обе конфигурации существуют и не вырождены. Их описанные радиусы равны заданному по формуле $R=\dfrac7{2\sin A}$.

Сравним квадраты положительных радиусов:

$$\frac34<\frac43.$$

Меньший вписанный радиус достигается во второй конфигурации. В ответ требуется его квадрат:

$$r_{\min}^2=\frac34=0{,}75.$$

Округление не нужно.

Открыть модель к этому разбору ↑

$0{,}75$

Заданные сторона и описанный радиус фиксируют синус угла, но допускают острый и тупой углы. Экстремум надо выбирать из обеих конфигураций.

Сторона вместе с описанным радиусом $R$ — повод применить равенство $a=2R\sin A$ и сразу проверить неоднозначность угла.

Выбрать только угол $60^\circ$ и получить $1{,}33$. Это приближённый квадрат радиуса одного допустимого треугольника, но не минимальный ответ.

Для задач с двумя сторонами и неприлежащим углом каждый раз проверяйте, сколько треугольников существует. Тема: неоднозначный случай решения треугольников.

Полнота: $A$ имеет ровно два значения; в каждом случае у уравнения для $AB$ ровно один положительный корень. Зеркальные треугольники дают те же радиусы. Вырожденные треугольники невозможны из-за $\sin A\ne0$. Минимум достигнут, а не является лишь пределом.