Союзы за круглым столом

Три выбранных места делят окружность на три промежутка. Измерьте их в шагах между соседями: какова их сумма?

Что произойдёт с треугольником, если все три вершины поместятся на дуге короче полуокружности? Как это увидеть по оставшемуся промежутку?

1. Заменяем картинку промежутками между вершинами

Сначала разберёмся, когда центр остаётся снаружи. Если все три рыцаря помещаются на дуге короче полуокружности, хорда между крайними из них отделяет весь треугольник от центра. Длины промежутков между рыцарями позволяют проверить это без измерения углов.

Равные расстояния между соседями дают $19$ равных шагов по окружности. Между тремя выбранными местами получаются три положительных целых промежутка с суммой $19$.

Половина окружности равна $9{,}5$ шага. Поэтому промежуток хотя бы в $10$ шагов оставляет для всех трёх вершин дугу не длиннее $9$ шагов — короче полуокружности.

Хорда между крайними вершинами отделяет эту короткую дугу от центра. Значит, центр находится снаружи треугольника.

2. Проверяем обратное и границу

Пусть каждый из трёх промежутков не больше 9 шагов. Тогда все они короче полуокружности.

Возьмём любую сторону выбранного треугольника. Дуга между её концами, на которой нет третьей выбранной вершины, — это один из наших промежутков. Она короче полуокружности. Поэтому центр окружности и третья вершина лежат с другой стороны этой хорды, со стороны большей дуги.

Это верно для каждой из трёх сторон. Значит, центр лежит с внутренней стороны всех трёх сторон, то есть строго внутри треугольника.

Отдельно проверим границу. Центр мог бы лежать на стороне, только если бы она была диаметром. Но среди 19 равномерных мест нет диаметрально противоположных: между ними было бы $9{,}5$ шага. Итак, плохая тройка — в точности тройка с промежутком хотя бы 10 шагов.

На нижнем рисунке длинный промежуток равен 10 шагам: центр лишь немного снаружи. Числа у дуг показывают количество шагов между соседними местами; это авторская схема к доказательству.

3. Считаем плохие тройки ровно по одному разу

У плохой тройки длинный промежуток единственный: два промежутка по $10$ уже дали бы сумму не меньше $20>19$. Зафиксируем движение по часовой стрелке и назовём начальным рыцаря сразу после длинного промежутка. Остальные два рыцаря находятся среди следующих девяти мест.

Начального рыцаря выбираем $19$ способами. Затем выбираем два места из девяти:

$$C_9^2=\frac{9\cdot8}{2}=36.$$

Делим на $2$, поскольку порядок выбора этих двух мест не важен.

Обратно, любой такой выбор помещается на дуге не длиннее девяти шагов. Оставшийся промежуток имеет длину хотя бы $10$, и его конец — выбранный начальный рыцарь. Значит, повторов и пропусков нет. Плохих троек

$$19\cdot36=684.$$

4. Вычитаем из общего числа троек

Всего неупорядоченных троек

$$C_{19}^3=\frac{19\cdot18\cdot17}{3\cdot2\cdot1}=969.$$

Знаменатель убирает шесть порядков перечисления одной и той же тройки. Вычитаем плохие тройки:

$$969-684=285.$$

$285$

У тройки, не охватывающей центр, есть единственный промежуток длиннее полуокружности; он даёт естественную точку начала и устраняет двойной счёт.

При циклическом расположении ищите выделенный промежуток или элемент, который можно выбрать единственным образом для каждого объекта.

Посчитать тройки в произвольных полуокружностях, не закрепив единственное начало: одна тройка может лежать во многих таких полуокружностях.

Подсчёт через дополнение удобен, когда у плохих объектов есть простая структура. Сначала доказывайте единственность выделенного элемента, а затем умножайте число выборов.

Доказана эквивалентность геометрического условия и максимального промежутка≤9. Диаметр невозможен при нечётных 19. Каждая из 969 троек проверена по промежуткам; для 684 плохих программно подтверждено ровно одно начало, по 36 на каждый из 19 рыцарей; хороших 285.