Расстояние между основаниями перпендикуляров

Продлите обе биссектрисы до их пересечения. Два прямых угла при $R$ и $S$ теперь опираются на один и тот же отрезок — какую окружность это подсказывает?

Пусть $I$ — точка пересечения биссектрис. Где лежат $R$ и $S$ относительно отрезка $CI$?

1. Полууглы: почему данные удобны

Обозначим половины углов треугольника:

$$\begin{aligned} \alpha&=\angle CAQ=\frac A2,\\ \beta&=\angle CBP=\frac B2,\\ \gamma&=\frac C2. \end{aligned}$$

Все они лежат между $0^\circ$ и $90^\circ$, поэтому их косинусы положительны. По основному тригонометрическому тождеству

$$\begin{aligned} \cos\alpha&=\sqrt{1-\left(\frac{11}{61}\right)^2}=\frac{60}{61},\\ \cos\beta&=\sqrt{1-\left(\frac5{13}\right)^2}=\frac{12}{13}. \end{aligned}$$

Кроме того, $\alpha+\beta+\gamma=90^\circ$.

2. Вспомогательная окружность

Пусть $I=AQ\cap BP$ — центр вписанной окружности. Тогда $CI$ тоже биссектриса. Равенства $CR\perp IR$ и $CS\perp IS$ означают, что $R$ и $S$ лежат на окружности с диаметром $CI$: из каждой из этих точек отрезок $CI$ виден под прямым углом, а геометрическое место таких точек — окружность с диаметром $CI$. Поэтому искомое $RS$ — хорда этой окружности.

Открыть модель к этому разбору ↑

3. Находим диаметр

Чтобы найти хорду $RS$, нужны диаметр её окружности и угол, под которым видна хорда. Начнём с диаметра $CI$: известный отрезок $CR$ — катет прямоугольного треугольника $CIR$, так что достаточно найти угол при $I$.

В треугольнике $BIC$ углы при $B$ и $C$ равны $\beta$ и $\gamma$. Значит,

$$\begin{aligned} \angle BIC&=180^\circ-\beta-\gamma\\ &=90^\circ+\alpha. \end{aligned}$$

Угол $BIC$ тупой. Если бы $R$ лежала на луче $IB$, то в прямоугольном треугольнике $CIR$ угол при $I$ тоже был бы тупым, что невозможно. Поэтому $R$ лежит на противоположном луче. Отсюда $\angle CIR=90^\circ-\alpha$. Второй острый угол треугольника $CIR$ равен $\alpha$. Катет $CR$ прилежит к нему, поэтому

$$\begin{aligned} CR&=CI\cos\alpha,\\[4pt] CI&=\frac{CR}{\cos\alpha}=65\cdot\frac{61}{60}\\ &=\frac{793}{12}. \end{aligned}$$

4. Вычисляем хорду

Аналогично $\angle AIC=90^\circ+\beta$ — тупой, поэтому луч $IS$ противоположен $IA$. Значит, $\angle RIS=\angle BIA=90^\circ+\gamma$. Все три точки $R,I,S$ лежат на окружности с диаметром $CI$. По расширенной теореме синусов в треугольнике $RIS$ хорда равна диаметру окружности, умноженному на синус противолежащего угла:

$$\begin{aligned} RS&=CI\sin\angle RIS\\ &=CI\cos\gamma\\ &=CI\sin(\alpha+\beta). \end{aligned}$$

Вычислим синус суммы и затем длину хорды:

$$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) &=\frac{11}{61}\cdot\frac{12}{13} +\frac{60}{61}\cdot\frac5{13}\\ &=\frac{432}{793},\\[4pt] RS&=\frac{793}{12}\cdot\frac{432}{793}=36. \end{aligned}$$

$36$

Общие прямые углы связывают две проекции окружностью; длина её диаметра и угол определяют нужную хорду.

Две высоты к прямым, проходящим через одну точку, подсказывают окружность с диаметром, соединяющим эту точку с общей вершиной высот.

Нельзя без обоснования заменить угол между лучами $IR$ и $IS$ острым углом между прямыми биссектрис. Здесь оба луча противоположны $IB$ и $IA$, поэтому $\angle RIS=90^\circ+\gamma$. Синусы углов $90^\circ+\gamma$ и $90^\circ-\gamma$ совпадают: эти углы в сумме дают $180^\circ$. Численный ответ от такой подмены не изменился бы, но положение лучей в доказательстве всё равно нужно установить.

В следующей задаче с двумя основаниями перпендикуляров сначала ищите общую окружность, а затем решайте, какую её хорду или угол удобно вычислить. Тема: вписанные углы и биссектрисы.

Поскольку $0<\alpha,\beta<90^\circ$, отрицательные корни для косинусов невозможны. Здесь $\alpha\approx10{,}39^\circ$, $\beta\approx22{,}62^\circ$, поэтому $A\approx20{,}78^\circ$, $B\approx45{,}24^\circ$, $C\approx113{,}98^\circ$: условие о наибольшем угле выполнено. Треугольник с этими углами существует и единствен с точностью до масштаба и отражения; условие $CR=65$ задаёт масштаб. Проверочная координатная реализация: $B=(0,0)$, $C=(119,120)$, $A=\left(\frac{4788}{11},0\right)$. Это проверка, а не основной метод.