Два испорченных листка

Листок МакГонагалл точно не меняли. Что можно сказать о делимости разности $f(u)-f(v)$ для целых аргументов и целых коэффициентов?

Сравните каждый капитанский листок с листком МакГонагалл. Какие записи не проходят проверку делимости на разность аргументов?

1. Находим обязательную проверку значения

Коэффициенты ещё неизвестны, но они целые. Попробуем получить проверку, которую обязан пройти любой верный листок. Для этого вычтем два значения многочлена: разности степеней имеют общий множитель, равный разности аргументов.

Для различных целых $u,v$ разность $f(u)-f(v)$ делится на $u-v$. Действительно, $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$, а для кубов

$$\begin{aligned} u^3-v^3&=(u-v)\\ &\quad\cdot(u^2+uv+v^2). \end{aligned}$$

Свободные члены сокращаются. Поэтому при $u\ne v$ частное равно

$$\begin{aligned} \frac{f(u)-f(v)}{u-v} &=a(u^2+uv+v^2)\\ &\quad+b(u+v)+c. \end{aligned}$$

Правая часть — целое число. Это позволяет проверить отдельный листок, ещё не зная коэффициентов.

2. Однозначно определяем испорченные листки

Листок МакГонагалл точно верный: $f(-6)=-192$. С ним можно сравнивать остальные записи.

Листок при $x=1$. Если бы число $83$ было верным, разность значений должна была бы делиться на $1-(-6)=7$. Но

$$83-(-192)=275=7\cdot39+2.$$

Остаток не нулевой, значит, листок испорчен.

Листок при $x=4$. Разность с верным значением должна делиться на $4-(-6)=10$. Однако

$$170-(-192)=362,$$

а это число на 10 не делится. Второй испорченный листок найден.

По условию изменены ровно два листка. Поэтому записи $f(-3)=-21$ и $f(-1)=3$ уже можно считать истинными.

3. Выражаем коэффициенты через $a$

Запишем три истинных равенства:

$$\begin{aligned} -216a+36b-6c+d&=-192,\\ -27a+9b-3c+d&=-21,\\ -a+b-c+d&=3. \end{aligned}$$

Из второго вычтем первое и разделим на $3$, а из третьего вычтем второе и разделим на $2$:

$$\begin{aligned} 63a-9b+c&=57,\\ 13a-4b+c&=12. \end{aligned}$$

Вычитание этих двух равенств устраняет $c$:

$$50a-5b=45,\qquad b=10a-9.$$

Последовательно находим остальные коэффициенты:

$$\begin{aligned} c&=12-13a+4(10a-9)\\ &=27a-24,\\[4pt] d&=3+a-(10a-9)\\ &\quad+(27a-24)\\ &=18a-12. \end{aligned}$$

4. Используем одинаковую прибавку

Пусть Пивз прибавил число $N$. Тогда $f(1)+N=83$ и $f(4)+N=170$. При вычитании неизвестная прибавка исчезает:

$$f(4)-f(1)=87.$$

По найденным коэффициентам

$$\begin{aligned} f(1)&=a+(10a-9)\\ &\quad+(27a-24)+(18a-12)\\ &=56a-45,\\[6pt] f(4)&=64a+16(10a-9)\\ &\quad+4(27a-24)+(18a-12)\\ &=350a-252. \end{aligned}$$

Подставляем в разность:

$$\begin{gathered} 294a-207=87,\\ 294a=294,\qquad a=1. \end{gathered}$$

Тогда $b=1$, $c=3$, $d=6$.

5. Проверяем исходную картину и единственность

Получили $f(x)=x^3+x^2+3x+6$. Все четыре коэффициента натуральные. В таблице $f(x)$ — истинное значение, «Листок» — записанное число, «Плюс» — прибавка Пивза:

Число $72$ двузначное, прибавлено ровно на двух капитанских листках. Другая пара листков невозможна по шагу $2$. Для этой пары уравнения вынуждают $a=1$, а затем однозначно определяют $b,c,d$ и $N$. Значит, исходная картина восстановлена единственным образом.

$72$

Целочисленный многочлен сохраняет делимость разности значений на разность аргументов; это помогает обнаружить искажение раньше, чем восстанавливать сам многочлен.

В задаче про испорченные значения и целые коэффициенты сначала проверяйте арифметические ограничения между надёжными и подозрительными данными.

Подставить все пять записанных значений как истинные: две записи заведомо содержат прибавку, а значит, такая система не описывает исходный многочлен.

Разделяйте обнаружение ошибки и восстановление данных. Одинаковую неизвестную добавку удобно исключать вычитанием двух испорченных значений.

Алгебраически доказаны обязательность пары (1,4), единственность коэффициентов и N, натуральность (1,1,3,6), двузначность 72 и ровно две поправки. Дополнительно точная рациональная арифметика проверила все 6 возможных пар без ограничения искусственным диапазоном коэффициентов.