Математика · 10 класс

Пусть $a$, $b$, $c$ — три попарно различных ненулевых числа. Для каждой пары из чисел $0$, $a$, $b$ и $c$ выписывается приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого является эта пара чисел. Обозначим полученные трёхчлены $f_1, f_2, \ldots, f_6$. Пусть $f = f_1 + f_2 + \ldots + f_6$. Найдите сумму $S = a^2 + b^2 + c^2$, если $f(0) = 11$, а $f(1) = -1$. (Сами числа $a$, $b$ и $c$ не даны.)

Найдите все тройки целых чисел $(a; b; c)$, для которых $a + bc$, $b + ac$, $b^2 - a^2 + 21c^2$ — три последовательных натуральных числа, расположенных в порядке возрастания.

Петя равновероятно выбирает один из всех способов разложить $56$ одинаковых шаров по $3$ пронумерованным ящикам. Найдите вероятность того, что в каждом ящике окажется чётное (возможно, нулевое) количество шаров.

Окружность $\omega$, построенная на высоте $AH$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает сторону $AB$ этого треугольника в её середине $M$. Высота $AH$ лежит внутри треугольника. На стороне $AC$ отмечена точка $X$ такая, что $CM$ делит отрезок $HX$ пополам. Найдите отношение $AX : XC$, если $BC : AB = 2\sqrt2$.

Цветочный луг, гречишное поле и липовая роща расположены в трёх точках, не лежащих на одной прямой. Пасечник поставил улей на прямолинейной тропинке между лугом и полем так, чтобы сумма расстояний от улья до луга, поля и рощи была наименьшей. На каком расстоянии от луга установлен улей, если известно, что длина тропинки равна $1000$ м, расстояния от улья до луга, рощи и поля (в указанном порядке) являются тремя последовательными членами некоторой геометрической прогрессии, а длина тропинки, расстояние от рощи до луга и расстояние от рощи до поля — соответственно вторым, четвертым и шестым членами некоторой арифметической прогрессии?

В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AP$ и $CQ$. Пусть $M$ и $T$ — соответственно середины сторон $AC$ и $AB$. Известно, что $\angle PBQ = \angle PMQ$. Найдите $QT$, если $AB = 3$, $BC = 5$.

Найдите все отрицательные значения параметра $a$, для каждого из которых найдется такое значение $b$, что система

имеет более двух решений.