Задача 2. Три последовательных натуральных числа

Запишем условие равенствами

Три последовательных натуральных числа в порядке возрастания — это $n$, $n + 1$, $n + 2$, где $n \ge 1$. Поэтому нужно

Первое равенство раскладывается на множители

Перенесём всё в одну сторону: $(b - a) - c(b - a) = 1$, то есть

Оба множителя — целые числа, а произведение двух целых равно $1$, только если они оба равны $1$ или оба равны $-1$. Получаем два случая:

• $b - a = 1$ и $1 - c = 1$: $c = 0$, $b = a + 1$;
• $b - a = -1$ и $1 - c = -1$: $c = 2$, $b = a - 1$.

При остальных $c$ решений нет вообще. На плоскости пар $(a, b)$ кандидаты лежат на двух прямых.

Случай c = 0

Подставим $c = 0$, $b = a + 1$. Числа равны $a$, $a + 1$ и $b^2 - a^2 = (a + 1)^2 - a^2 = 2a + 1$.

Третье должно быть на $2$ больше первого: $2a + 1 = a + 2$, откуда $a = 1$, $b = 2$. Числа $1, 2, 3$ — натуральные. Тройка $(1; 2; 0)$ подходит.

Случай c = 2

Подставим $c = 2$, $b = a - 1$. Первое число $a + 2b = 3a - 2$, второе $b + 2a = 3a - 1$ (на $1$ больше — как и должно быть), третье

Нужно $85 - 2a = (3a - 2) + 2 = 3a$, откуда $a = 17$, $b = 16$. Числа $49, 50, 51$ — натуральные. Тройка $(17; 16; 2)$ подходит.