Физтех 2025/26, Математика 10, финал №5 · вар. 5

Условие

Цветочный луг, гречишное поле и липовая роща расположены в трёх точках, не лежащих на одной прямой. Пасечник поставил улей на прямолинейной тропинке между лугом и полем так, чтобы сумма расстояний от улья до луга, поля и рощи была наименьшей. На каком расстоянии от луга установлен улей, если известно, что длина тропинки равна $1000$ м, расстояния от улья до луга, рощи и поля (в указанном порядке) являются тремя последовательными членами некоторой геометрической прогрессии, а длина тропинки, расстояние от рощи до луга и расстояние от рощи до поля — соответственно вторым, четвертым и шестым членами некоторой арифметической прогрессии?

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 5
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Начни с суммы расстояний: улей стоит на самой тропинке, поэтому сумма расстояний до луга и до поля всегда одна и та же. Что тогда остаётся сделать наименьшим? Затем переведи обе прогрессии в равенства и посмотри, что геометрическая прогрессия говорит об угле при роще. В модели двигай улей и подбирай расстояния от рощи. Ниже можно сверить ответ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеУлей на тропинке

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Улей на тропинке

Где поставить улей и какими должны быть расстояния от рощи, чтобы выполнились обе прогрессии?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй тропинку LF, рощу R и улей H на тропинке, отметь три расстояния от H и запиши, что означают обе прогрессии.

Подсказка 1

Для улья $H$ на отрезке $LF$ всегда $HL + HF = 1000$ поэтому наименьшей должна быть только $HR$ улей — основание перпендикуляра из рощи $R$ на тропинку. Геометрическая прогрессия означает $HR^2 = HL \cdot HF$

Подсказка 2

Из $HR^2 = HL \cdot HF$ и $RH \perp LF$ следует, что угол $LRF$ прямой (треугольники $LHR$ и $RHF$ подобны). Арифметическая прогрессия: $RL = 1000 + t$ $RF = 1000 + 2t$ Подставь в теорему Пифагора $RL^2 + RF^2 = 1000^2$

Разобрать решение по шагам

Где стоит улей

Обозначим луг $L$ поле $F$ рощу $R$ улей $H$ Улей стоит на отрезке $LF$ поэтому $HL + HF = LF = 1000$ м при любом его положении. Сумма трёх расстояний наименьшая, когда наименьшее $HR$ — то есть когда $H$ — основание перпендикуляра из $R$ на прямую $LF$

Это основание лежит на самой тропинке. Иначе наименьшее $HR$ было бы в конце тропинки, в $L$ или в $F$ и одно из чисел $HL$ $HF$ было бы нулём. Но тогда из геометрической прогрессии $HR^2 = HL \cdot HF = 0$ а роща не лежит на прямой $LF$ Итак, $RH \perp LF$

Геометрическая прогрессия даёт прямой угол при роще

Три последовательных члена геометрической прогрессии $HL$ $HR$ $HF$ связаны равенством

HR^2 = HL \cdot HF, \quad\text{то есть}\quad \frac{HR}{HL} = \frac{HF}{HR}.

Прямоугольные треугольники $LHR$ и $RHF$ (прямой угол при $H$ ) имеют пропорциональные катеты, поэтому они подобны и $\angle LRH = \angle RFH$ Тогда

\angle LRF = \angle LRH + \angle HRF = \angle RFH + \angle HRF = 90^\circ,

ведь острые углы прямоугольного треугольника $RHF$ в сумме дают $90^\circ$ Значит, $LF$ — гипотенуза: $RL^2 + RF^2 = 1000^2$

Арифметическая прогрессия

Пусть разность прогрессии $d$ Тогда $1000 = a_2$ $RL = a_4 = a_2 + 2d$ $RF = a_6 = a_2 + 4d$ Обозначим $t = 2d$

RL = 1000 + t,\qquad RF = 1000 + 2t.

Катеты короче гипотенузы, поэтому $t < 0$

Теорема Пифагора

(1000 + t)^2 + (1000 + 2t)^2 = 1000^2 \iff 5t^2 + 6000t + 1\,000\,000 = 0 \iff t^2 + 1200t + 200\,000 = 0.

Корни $t = -200$ и $t = -1000$ При $t = -1000$ получилось бы $RL = 0$ — так не бывает. Значит, $t = -200$

RL = 800 \text{ м},\qquad RF = 600 \text{ м}.

Это «египетский» треугольник $3 : 4 : 5$ увеличенный в $200$ раз.

Расстояние от улья до луга

В прямоугольном треугольнике катет — среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции на неё: $RL^2 = LF \cdot HL$ Поэтому

HL = \frac{800^2}{1000} = 640 \text{ м}.

Тогда $HF = 360$ м и $HR = \sqrt{640 \cdot 360} = 480$ м.

Луг, поле и роща — прямоугольный треугольник 800 — 600 — 1000 м. Улей — основание высоты из рощи: 640, 480 и 360 м образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 3/4.

Проверка

Проверим все условия на найденном треугольнике. Положим $L = (0; 0)$ $F = (1000; 0)$ $R = (640; 480)$ тогда $RL = \sqrt{640^2 + 480^2} = 800$ , $RF = \sqrt{360^2 + 480^2} = 600$ . Числа $1000$ $800$ $600$ — второй, четвёртый и шестой члены прогрессии с разностью $-100$ $1100, 1000, 900, 800, 700, 600$ . Числа $640$ $480$ $360$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $\tfrac34$ Сумма $HL + HF + HR$ на тропинке наименьшая именно при $HL = 640$ — это видно и на графике в модели. Второй способ — перебор всех целых $RL$ обе прогрессии выполняются только при $RL = 800$ $RF = 600$

Ответ

$640$ м.

Ответ

$640$ м.

Главная идея

На отрезке LF сумма HL + HF постоянна, поэтому улей — основание перпендикуляра из рощи; HR² = HL·HF означает прямой угол при роще.

Сумма расстояний от точки на отрезке до его концов и третьей точки; соотношение «высота² = произведение отрезков гипотенузы».

Где легко ошибиться

Искать точку Ферма или решать задачу минимизации всей суммы; не заметить, что из геометрической прогрессии следует прямой угол; взять положительную разность прогрессии (катеты длиннее гипотенузы).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 5, задача 5.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Расстояния и пути на поверхности →

Тема, знания и приёмы

Расстояния и пути на поверхности · Начальный вход

Перпендикуляр как кратчайшее расстояние
Подобие прямоугольных треугольников
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Теорема Пифагора

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Подобие треугольников

Задать вопрос по задаче →