Задача 3. Чётные числа шаров в трёх ящиках

Что такое один способ

Шары одинаковые, ящики пронумерованы. Значит, способ разложить шары полностью задаётся тремя числами: $x$ шаров в первом ящике, $y$ во втором, $z$ в третьем, где $x, y, z \ge 0$ целые и $x + y + z = 56$.

Петя выбирает каждую такую тройку с одинаковой вероятностью, поэтому

Считаем все способы: шары и перегородки

Выложим $56$ шаров в ряд и добавим две перегородки. Шары левее первой перегородки идут в первый ящик, между перегородками — во второй, правее второй — в третий. Каждой расстановке перегородок соответствует ровно один способ, и наоборот.

Всего мест $56 + 2 = 58$, перегородки занимают два из них:

То же число получается прямым счётом: при $x = 0$ для $y$ есть $57$ вариантов, при $x = 1$ — $56$, …, при $x = 56$ — один; $1 + 2 + \ldots + 57 = 1653$. В модели это точки треугольной решётки.

Считаем чётные способы: склеим шары попарно

Если все три числа чётные, $x = 2x'$, $y = 2y'$, $z = 2z'$, то $x' + y' + z' = 28$. Это способ разложить $28$ «двойных шаров» по трём ящикам, и каждый такой способ даёт ровно один чётный способ для $56$ шаров. Значит, чётных способов столько же, сколько всех способов для $28$ шаров:

В модели оранжевые точки образуют такую же треугольную решётку, только со стороной $28$ вместо $56$.

Вероятность