Задача 4. Окружность на высоте и медиана

Окружность на диаметре AH даёт прямой угол

Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $AH$, поэтому $\angle AMH = 90^\circ$. Значит, в треугольнике $ABH$ отрезок $HM$ — высота. Но $M$ — середина $AB$, то есть $HM$ ещё и медиана. Треугольник, в котором медиана совпадает с высотой, равнобедренный: $HA = HB$.

Так как $\angle AHB = 90^\circ$, треугольник $ABH$ — прямоугольный равнобедренный и $\angle B = 45^\circ$.

Длины отрезков на стороне BC

Обозначим $AH = BH = h$. Тогда $AB = h\sqrt2$ и

Высота $AH$ лежит внутри треугольника, поэтому $H$ лежит между $B$ и $C$ и $HC = BC - BH = 3h$.

Какой отрезок медиана CM делит пополам

Проведём через $H$ прямую, параллельную $AB$; она пересечёт $CA$ в точке $X_0$. Отрезок $HX_0$ получается из $AB$ гомотетией (подобием) с центром $C$: при ней $B$ переходит в $H$, $A$ — в $X_0$, а середина $M$ отрезка $AB$ — в середину отрезка $HX_0$. Середина $M$ лежит на прямой $CM$, и её образ тоже лежит на этой прямой (гомотетия с центром $C$ переводит прямую через $C$ в себя). Значит, $CM$ делит $HX_0$ пополам.

Другой подходящей точки X нет

Когда $X$ движется по стороне $AC$, середина отрезка $HX$ движется по средней линии треугольника $AHC$, параллельной $AC$. Прямая $CM$ пересекает $AC$ в точке $C$, поэтому средней линии она не параллельна и пересекает её не более чем в одной точке. Значит, условию отвечает ровно одна точка $X$, и это $X_0$: $HX \parallel AB$.

Отношение по теореме о пропорциональных отрезках

Прямые $AB$ и $HX$ параллельны и пересекают стороны угла $C$. По теореме о пропорциональных отрезках (Фалеса)