Физтех 2025/26, Математика 10, финал №6 · вар. 5 — Высоты и середина стороны: решение

Условие

В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AP$ и $CQ$ Пусть $M$ и $T$ — соответственно середины сторон $AC$ и $AB$ Известно, что $\angle PBQ = \angle PMQ$ Найдите $QT$ если $AB = 3$ $BC = 5$

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 5
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Точки $P$ и $Q$ — основания высот. Под каким углом из каждой из них видна сторона $AC$ Выясни, как угол $PMQ$ зависит от угла $B$ В модели поворачивай угол $B$ и сравнивай два угла. Ниже можно сверить ответ — длину $QT$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеВысоты и окружность на AC

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Высоты и окружность на AC

При каком угле B угол PMQ равен углу PBQ?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй треугольник с AB = 3 и BC = 5 для двух-трёх разных углов B, отметь основания высот P, Q и середину M стороны AC и измерь углы PMQ и PBQ.

Подсказка 1

$\angle APC = \angle AQC = 90^\circ$ , поэтому $P$ и $Q$ лежат на окружности с диаметром $AC$ а её центр — середина $M$ Центральный угол $PMQ$ вдвое больше вписанного угла $PCQ$ опирающегося на ту же дугу.

Подсказка 2

В прямоугольном треугольнике $BQC$ угол $QCB = 90^\circ - \angle B$ , поэтому $\angle PMQ = 180^\circ - 2\angle B$ . Из условия $\angle B = 180^\circ - 2\angle B$ , то есть $\angle B = 60^\circ$ Дальше найди $BQ$ из треугольника $BQC$ и сравни с $BT = AB/2$

Разобрать решение по шагам

Основания высот лежат на окружности с диаметром AC

$AP$ и $CQ$ — высоты, поэтому $\angle APC = 90^\circ$ и $\angle AQC = 90^\circ$ Из точек $P$ и $Q$ отрезок $AC$ виден под прямым углом, значит, обе точки лежат на окружности с диаметром $AC$ Её центр — середина $M$ отрезка $AC$

Центральный угол PMQ через угол B

Угол $PMQ$ — центральный, а угол $PCQ$ — вписанный в ту же окружность, и они опираются на одну и ту же дугу $PQ$ Угол $PCQ$ острый (см. ниже), поэтому эта дуга меньше полуокружности и

\angle PMQ = 2\angle PCQ.

Треугольник остроугольный, поэтому $P$ лежит на стороне $BC$ и $\angle PCQ = \angle BCQ$ В прямоугольном треугольнике $BQC$ (прямой угол при $Q$ ) $\angle BCQ = 90^\circ - \angle B$ . Получаем

\angle PMQ = 180^\circ - 2\angle B.

Условие задачи даёт угол B

Точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $BC$ и $BA$ поэтому $\angle PBQ = \angle B$ Условие $\angle PBQ = \angle PMQ$ превращается в уравнение

\angle B = 180^\circ - 2\angle B \iff \angle B = 60^\circ.

Отрезок QT

Из прямоугольного треугольника $BQC$ $BQ = BC \cos 60^\circ = \dfrac52$ . Точка $T$ — середина $AB$ $BT = \dfrac32$ Обе точки лежат на стороне $BA$ (точка $Q$ — внутри стороны, так как $\dfrac52 < 3$ ), поэтому

QT = BQ - BT = \frac52 - \frac32 = 1.

Такой треугольник действительно подходит: $AC^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \tfrac12 = 19$ , наибольшая сторона $BC = 5$ и $25 < 9 + 19$ — треугольник остроугольный, а стороны $3$ $5$ $\sqrt{19}$ различны.

P и Q лежат на окружности с диаметром AC. Вписанный угол PCQ = 30°, центральный PMQ = 60° — столько же, сколько ∠B. Отрезок QT = BQ − BT = 5/2 − 3/2 = 1.

Проверка

Проверим координатами: $B = (0; 0)$ $C = (5; 0)$ $A = (\tfrac32; \tfrac{3\sqrt3}2)$ — здесь $AB = 3$ и $\angle B = 60^\circ$ Основание высоты из $C$ — проекция $C$ на прямую $BA$ $Q = (\tfrac54; \tfrac{5\sqrt3}4)$ , середина $T = (\tfrac34; \tfrac{3\sqrt3}4)$ , $QT = 1$ Векторы $\vec{MP} = (-\tfrac74; -\tfrac{3\sqrt3}4)$ и $\vec{MQ} = (-2; \tfrac{\sqrt3}2)$ имеют длину $\tfrac{\sqrt{19}}2$ и скалярное произведение $\tfrac{19}8$ косинус угла между ними $\tfrac12$ — угол $60^\circ$ Численный перебор углов $B$ показывает, что разность $\angle PBQ - \angle PMQ$ меняет знак ровно один раз — при $60^\circ$ В других вариантах финала стоят другие стороны: в варианте 6 ( $AB = 4$ $BC = 5$ ) $QT = \tfrac12$ в варианте 7 ( $6$ и $9$ ) — $\tfrac32$ в варианте 8 ( $7$ и $11$ ) — $2$ всё по той же формуле $QT = \tfrac{BC - AB}2$ их можно включить в модели.

Ответ

$QT = 1$

Ответ

$QT = 1$

Главная идея

Основания высот лежат на окружности с диаметром AC, поэтому ∠PMQ — центральный угол, равный 2(90° − ∠B); из условия ∠B = 60°.

Две высоты треугольника и середина стороны, к которой они не проведены, — окружность на этой стороне как на диаметре.

Где легко ошибиться

Не связать ∠PMQ с вписанным углом; перепутать дугу (взять 2∠B вместо 2(90° − ∠B)); искать QT как BQ + BT.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 5, задача 6.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2–3) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Начальный вход

Окружность, на которой отрезок виден под прямым углом
Центральный и вписанный углы
Косинус острого угла прямоугольного треугольника

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →