Физтех 2025/26, Математика 10, финал №1 · вар. 5 — Шесть трёхчленов из четырёх корней: решение

Условие

Пусть $a$ $b$ $c$ — три попарно различных ненулевых числа. Для каждой пары из чисел $0$ $a$ $b$ и $c$ выписывается приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого является эта пара чисел. Обозначим полученные трёхчлены $f_1, f_2, \ldots, f_6$ Пусть $f = f_1 + f_2 + \ldots + f_6$ . Найдите сумму $S = a^2 + b^2 + c^2$ если $f(0) = 11$ а $f(1) = -1$ (Сами числа $a$ $b$ и $c$ не даны.)

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 5
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Сами числа не даны — значит, $f(0)$ и $f(1)$ должны выражаться через какие-то комбинации $a$ $b$ $c$ из которых складывается и $S$ Запиши один трёхчлен с корнями $p$ и $q$ и подумай, что получится при сложении всех шести. В модели можно подбирать $a$ $b$ $c$ и смотреть на $f(0)$ и $f(1)$ Ниже можно сверить ответ — число $S$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШесть парабол и их сумма

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шесть парабол и их сумма

От чего зависит сумма шести трёхчленов и меняется ли S, если менять числа при тех же условиях?

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми числа 1, 2, 3, выпиши шесть трёхчленов и сложи их по коэффициентам.

Подсказка 1

Приведённый трёхчлен с корнями $p$ и $q$ — это $(x - p)(x - q) = x^2 - (p + q)x + pq$ . Сложи шесть таких трёхчленов: сколько раз в сумме коэффициентов при $x$ встретится каждое из чисел $0$ $a$ $b$ $c$ Какие произведения $pq$ равны нулю?

Подсказка 2

Получится $f(x) = 6x^2 - 3(a + b + c)x + (ab + bc + ca)$ . Тогда $f(0)$ и $f(1)$ дают $ab + bc + ca$ и $a + b + c$ а $a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$ .

Разобрать решение по шагам

Как выглядит каждый трёхчлен

Приведённый квадратный трёхчлен с корнями $p$ и $q$ — это

(x - p)(x - q) = x^2 - (p + q)\,x + pq.

Пар из четырёх чисел $0$ $a$ $b$ $c$ ровно шесть: $\{0, a\}$ $\{0, b\}$ $\{0, c\}$ $\{a, b\}$ $\{b, c\}$ $\{c, a\}$ — отсюда шесть трёхчленов.

Складываем шесть трёхчленов

Соберём сумму по коэффициентам.

При $x^2$ шесть единиц, то есть $6$
При $x$ минус сумма $p + q$ по всем парам. Каждое из чисел $0$ $a$ $b$ $c$ входит ровно в три пары (на рисунке из каждой вершины выходят три отрезка), поэтому сумма равна $3(0 + a + b + c) = 3(a + b + c)$ .
Свободный член: сумма произведений $pq$ Три пары с нулём дают $0$ остаются $ab + bc + ca$

f(x) = 6x^2 - 3(a + b + c)\,x + (ab + bc + ca).

Шесть пар — шесть отрезков между числами 0, a, b, c. Каждое число — конец трёх отрезков, поэтому в сумме корней всех трёхчленов оно встречается трижды; пары с нулём дают нулевое произведение.

Что дают условия f(0) = 11 и f(1) = −1

Подставим $x = 0$ $f(0) = ab + bc + ca = 11$

Подставим $x = 1$ $f(1) = 6 - 3(a + b + c) + 11 = -1$ , откуда $3(a + b + c) = 18$ и $a + b + c = 6$

Сами числа мы не нашли — и не нужно: для $S$ достаточно этих двух сумм.

Сумма квадратов

Возведём сумму в квадрат: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$ . Поэтому

S = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 36 - 22 = 14.

Такие числа действительно бывают: например, $a = 1$ $b = 2$ $c = 3$ — они различны, не равны нулю, $1 + 2 + 3 = 6$ и $2 + 6 + 3 = 11$

Проверка

Проверим на конкретной тройке $a = 1$ $b = 2$ $c = 3$ считая трёхчлены по одному. Значения в нуле — произведения корней: $0, 0, 0, 2, 6, 3$ сумма $11$ Значения в единице $(1 - p)(1 - q)$ для пар $\{0,1\}, \{0,2\}, \{0,3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$ получаем $0, -1, -2, 0, 0, 2$ сумма $-1$ И $S = 1 + 4 + 9 = 14$ В модели во втором режиме можно двигать $a$ другие тройки с теми же $f(0)$ и $f(1)$ меняют шесть маленьких парабол, но не их сумму и не $S$

Ответ

$S = 14$

Ответ

$S = 14$

Главная идея

Сумма шести трёхчленов зависит только от a + b + c и ab + bc + ca (каждое число входит в три пары), а через эти две суммы выражается и a² + b² + c².

Числа не даны, но известны значения симметричного выражения от них — нужно выразить всё через элементарные симметрические суммы.

Где легко ошибиться

Считать, что каждое число входит в две пары, а не в три; забыть, что пары с нулём тоже дают трёхчлены; пытаться найти сами числа a, b, c.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 5, задача 1.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Уравнения и системы →

Тема, знания и приёмы

Уравнения и системы · Нужна школьная база

Приведённый квадратный трёхчлен и теорема Виета
Квадрат суммы трёх чисел

Приёмы решения: Теорема Виета · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →