Задача 7. Прямая и луч с дугой гиперболы

Раскрываем модули

Пусть $a < 0$. Точки $a$ и $0$ делят ось $x$ на три части.

• $x \ge 0$: $|x| - |x - a| - a = x - (x - a) - a = 0$, уравнение $0 = 2(x - a)$ даёт $x = a < 0$ — противоречие. Точек нет.
• $a < x < 0$: $|x| - |x - a| - a = -x - (x - a) - a = -2x$, и $-2xy = 2(x - a)$, то есть $y = \dfrac ax - 1$.
• $x \le a$: $|x| - |x - a| - a = -x - (a - x) - a = -2a$, и $-2ay = 2(x - a)$, то есть $y = 1 - \dfrac xa$.

Обозначим $M$ — множество точек, где выполнено второе уравнение.

Как выглядит множество M

При $x \le a$ — это луч прямой $y = 1 - \dfrac xa$ с наклоном $-\dfrac1a > 0$, выходящий из точки $(a; 0)$ влево-вниз. При $a < x < 0$ — дуга гиперболы $y = \dfrac ax - 1$: она начинается у той же точки $(a; 0)$ и уходит вверх, приближаясь к оси $y$, но не касаясь её.

Первое уравнение — прямая $y = x + b$ с наклоном $1$. Решения системы — общие точки этой прямой с $M$.

При a = −1 решений бывает бесконечно много

При $a = -1$ луч — это $y = 1 + x$, $x \le -1$. Если взять $b = 1$, прямая $y = x + 1$ содержит весь луч, и решений бесконечно много — больше двух. Значит, $a = -1$ подходит.

Сколько точек на каждом куске при a ≠ −1

Пусть $a \ne -1$. Тогда наклоны $-\tfrac1a$ и $1$ различны, и прямая $y = x + b$ пересекает прямую луча ровно в одной точке:

Эта точка принадлежит лучу, только если $x_r \le a$. Удобно записать $x_r - a = -\dfrac{a(a + b)}{a + 1}$.

На дуге: $x + b = \dfrac ax - 1$; при $x \ne 0$ это квадратное уравнение $h(x) = x^2 + (b + 1)x - a = 0$, у него не больше двух корней. Значит, решений больше двух может быть, только если одна общая точка на луче и две — на дуге, то есть оба корня $h$ лежат в интервале $(a; 0)$.

Две точки на дуге и одна на луче не бывают одновременно

Если оба корня $h(x) = x^2 + (b + 1)x - a$ лежат в $(a; 0)$, то:

• $h(a) > 0$, а $h(a) = a^2 + (b + 1)a - a = a(a + b)$; так как $a < 0$, получаем $a + b < 0$;
• вершина $-\tfrac{b + 1}2$ лежит в $(a; 0)$, то есть $0 < b + 1 < -2a$;
• дискриминант $D = (b + 1)^2 + 4a > 0$.

Теперь точка на луче: $x_r - a = -\dfrac{a(a + b)}{a + 1} \le 0$. Числитель $-a(a + b)$ отрицателен (так как $-a > 0$, $a + b < 0$), поэтому нужно $a + 1 > 0$, то есть $-1 < a < 0$.

Но тогда из $0 < b + 1 < -2a$ следует $(b + 1)^2 < 4a^2$ и

что противоречит $D > 0$. Значит, при $a \ne -1$ решений не больше двух ни при каком $b$.