Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

Окружность $\omega$ касается оснований $AD$ и $BC$ равнобокой трапеции $ABCD$ в их серединах и пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ таких, что $K$ лежит между $A$ и $L$ а $AK = 24$ $KL = 30$ $BL = 10$ Найдите квадрат радиуса окружности $\omega$

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Где лежит центр окружности и чем для неё является отрезок между серединами оснований? Из точек $A$ и $B$ к окружности идут и касательные, и секущая $AB$ — какая теорема их связывает? В модели подбирай основания трапеции. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТрапеция и окружность

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Трапеция и окружность

Какие основания у трапеции, если AK, KL, BL такие, как в условии?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй окружность и две параллельные касательные к ней. Проведи секущую, пересекающую обе касательные, и сравни квадрат отрезка касательной с произведением отрезков секущей.

Подсказка 1

Пусть $M$ и $N$ — середины $AD$ и $BC$ точки касания. $AM$ — касательная из $A$ $AB$ — секущая. По теореме о касательной и секущей $AM^2 = AK \cdot AL$ Так же из точки $B$

Подсказка 2

$AM = \sqrt{24 \cdot 54} = 36$ , $BN = \sqrt{10 \cdot 40} = 20$ , $AB = 64$ Отрезок $MN$ перпендикулярен основаниям и равен диаметру. Найди его из прямоугольной трапеции $ABNM$

Разобрать решение по шагам

Диаметр между серединами оснований

Пусть $M$ и $N$ — середины $AD$ и $BC$ в них окружность касается оснований. В равнобокой трапеции прямая $MN$ — ось симметрии, она перпендикулярна основаниям. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому центр $O$ лежит на перпендикулярах к основаниям в точках $M$ и $N$ то есть на $MN$ Значит, $MN$ — диаметр: $MN = 2R$

Касательные из A и B

Прямая $AD$ касается окружности в $M$ а прямая $AB$ пересекает её в $K$ и $L$ По теореме о касательной и секущей

AM^2 = AK \cdot AL = 24 \cdot (24 + 30) = 1296, \qquad AM = 36.

Так же из точки $B$ $BN^2 = BL \cdot BK = 10 \cdot (10 + 30) = 400$ , $BN = 20$

Прямоугольная трапеция ABNM

В четырёхугольнике $ABNM$ углы при $M$ и $N$ прямые. Опустим из $B$ высоту $BH$ на $AD$ $BH = MN$ $AH = AM - BN = 36 - 20 = 16$ , а $AB = 24 + 30 + 10 = 64$ По теореме Пифагора

MN^2 = AB^2 - AH^2 = 64^2 - 16^2 = 4096 - 256 = 3840.

MN — диаметр, перпендикулярный основаниям; AM и BN — касательные из A и B. В прямоугольной трапеции ABNM катет AH = AM − BN = 16, гипотенуза AB = 64.

Квадрат радиуса

R^2 = \left(\frac{MN}{2}\right)^2 = \frac{3840}4 = 960.

Проверка

Построение по найденным числам: центр $O = (0;\,0)$ $R = \sqrt{960}$ $A = (-36;\,-R)$ $B = (-20;\,R)$ Прямая $AB$ пересекает окружность в точках на расстояниях $24$ и $54$ от $A$ — это $K$ и $L$ и $BL = 64 - 54 = 10$ (тест модели строит фигуру для каждой версии). Другие версии: $AK = 6$ $KL = 48$ $BL = 2$ — $AM = 18$ $BN = 10$ $AB = 56$ $R^2 = \tfrac{56^2 - 8^2}4 = 768$ ; $AK = 4$ $KL = 96$ $BL = 2$ — $AM = 20$ $BN = 14$ $R^2 = \tfrac{102^2 - 6^2}4 = 2592$ ; $AK = 20$ $KL = 160$ $BL = 2$ — $AM = 60$ $BN = 18$ $R^2 = \tfrac{182^2 - 42^2}4 = 7840$ .

Ответ

$960$

Ответ

$960$

Главная идея

MN — диаметр, перпендикулярный основаниям; касательные AM и BN находятся по теореме о касательной и секущей, а MN — из прямоугольной трапеции ABNM.

Окружность касается прямой в известной точке и пересекает другую прямую из той же точки — теорема о касательной и секущей.

Где легко ошибиться

Взять AL = 30 вместо AK + KL = 54; найти MN, но ответить MN² вместо MN²/4; сложить AM и BN вместо вычитания.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 8, версия с ID 3894 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3897, 3896, 3895) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 7) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М9 2 попытка», стр. 8 ↗: ID 3894: 960; ID 3897: 768; ID 3896: 2 592; ID 3895: 7 840.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Окружности и касательные →

Тема, знания и приёмы

Окружности и касательные · Нужна школьная база

Теорема о касательной и секущей
Свойства равнобокой трапеции
Теорема Пифагора

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →