Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Найдите наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям: - число нечётное, но не является простым, - оно может быть представлено в виде суммы таких двух натуральных чисел, что если одно из этих чисел увеличить в $178$ раз, а другое — уменьшить в $178$ раз, их сумма не изменится.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Обозначь слагаемые $x$ и $y$ и запиши, что сумма не изменилась. Как тогда связаны $x$ и $y$ Какие числа $N = x + y$ так получаются? В модели подбирай $x$ и $y$ на весах. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеВесы суммы

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Весы суммы

При каких x и y сумма не меняется и каким тогда бывает N?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми k = 3 и подбери y для x = 1, 2, 3, чтобы 3x + y/3 = x + y. Что ты замечаешь про y?

Подсказка 1

Пусть $x$ увеличили, а $y$ уменьшили: $178x + \dfrac{y}{178} = x + y$ . Перенеси всё в одну сторону — получится, что $y$ во сколько-то раз больше $x$

Подсказка 2

Из равенства $177x = \dfrac{177y}{178}$ следует $y = 178x$ поэтому $N = 179x$ Какие $x$ дают нечётное составное $N$ Число $179$ простое.

Разобрать решение по шагам

Связь между слагаемыми

Пусть $N = x + y$ где $x$ $y$ — натуральные, и $x$ увеличили в $178$ раз, а $y$ уменьшили в $178$ раз (какое из двух чисел назвать $x$ не важно). Сумма не изменилась:

178x + \frac{y}{178} = x + y \;\Longleftrightarrow\; 177x = \frac{177y}{178} \;\Longleftrightarrow\; y = 178x.

Значит, $N = x + 178x = 179x$ И наоборот, для любого натурального $x$ число $179x$ раскладывается нужным образом: $x + 178x$

Нечётное и не простое

Подходят ровно числа вида $N = 179x$ Перебираем $x$ по возрастанию:

$x = 1$ $N = 179$ — простое число (не делится ни на одно простое до $\sqrt{179} < 14$ $2, 3, 5, 7, 11, 13$ ), не подходит;
$x = 2$ $N = 358$ — чётное, не подходит;
$x = 3$ $N = 537 = 3 \cdot 179$ — нечётное и составное.

Наименьшее подходящее число — $537$

Проверка

Проверка: $537 = 3 + 534$ $178 \cdot 3 + \tfrac{534}{178} = 534 + 3 = 537$ — сумма не изменилась; $537 = 3 \cdot 179$ — нечётное составное. Тест модели перебирает все разложения $N = x + y$ для $N$ до $1000$ и подтверждает ответ. Другие версии: $263$ $293$ $211$ — простые, поэтому ответы $3 \cdot 263 = 789$ $3 \cdot 293 = 879$ $3 \cdot 211 = 633$

Ответ

$537$

Ответ

$537$

Главная идея

Условие на сумму даёт y = 178x, поэтому подходят ровно числа 179x; 179 простое, 358 чётное, а 537 = 3·179 — первое нечётное составное.

«Одно увеличили в k раз, другое уменьшили в k раз, сумма не изменилась» — линейное уравнение, одно слагаемое в k раз больше другого.

Где легко ошибиться

Ответить 179, не проверив, что оно простое; взять x = 2 и получить чётное 358; ошибиться в преобразовании и получить y = 177x.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 2, версия с ID 3870 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3873, 3872, 3871) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М9 2 попытка», стр. 2 ↗: ID 3870: 537; ID 3873: 789; ID 3872: 879; ID 3871: 633.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Делимость и простые множители →

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Нужна школьная база

Линейные уравнения
Простые и составные числа

Приёмы решения: Разложение на множители

Задать вопрос по задаче →