Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Время работы ноутбука от батареи обратно пропорционально мощности, потребляемой всеми его компонентами. Если ноутбук полностью заряжен, то он проработает с максимальной яркостью экрана $4$ часа. При этом $2/3$ мощности потребляет экран. Вася использует ноутбук следующим образом: каждый раз, когда батарея разряжается на очередные $25\%$ от изначального значения (то есть достигает уровня $75\%$ $50\%$ $25\%$ ), он уменьшает яркость экрана на $25\%$ (от первоначального значения яркости). Сколько времени ему удастся проработать за ноутбуком? Мощность, потребляемая экраном, прямо пропорциональна яркости экрана. Ответ выразите в часах и при необходимости округлите до трёх знаков после запятой.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Раздели работу на четыре отрезка — по четверти заряда. Какую долю полной мощности ноутбук тратит на каждом? Сколько длится четверть заряда при полной мощности? В модели проверяй свои догадки о времени работы. Ниже можно сверить ответ в часах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеНоутбук Васи

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Ноутбук Васи

Сколько часов проработает ноутбук, если Вася убавляет яркость?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Посчитай, какую долю полной мощности ноутбук тратит при яркости 100%, 75%, 50% и 25%, если экран при полной яркости берёт 2/3 мощности. Во сколько раз дольше расходуется четверть заряда?

Подсказка 1

При полной мощности $P$ весь заряд расходуется за $4$ часа, значит, четверть заряда — за $1$ час. При мощности $wP$ та же четверть заряда расходуется в $\dfrac1w$ раз дольше.

Подсказка 2

Экран берёт $\dfrac23 P$ при полной яркости. Яркость по очереди $100\%$ $75\%$ $50\%$ $25\%$ поэтому мощность $P$ $\dfrac56 P$ $\dfrac23 P$ $\dfrac12 P$

Разобрать решение по шагам

Мощность на каждой четверти заряда

Пусть $P$ — мощность при максимальной яркости. Экран берёт $\tfrac23 P$ остальные компоненты — $\tfrac13 P$ и эта часть не меняется. Мощность экрана пропорциональна яркости, а яркость на четырёх отрезках — $100\%$ $75\%$ $50\%$ $25\%$ первоначальной. Получаем мощности

P,\qquad \tfrac13 P + \tfrac23 \cdot \tfrac34 P = \tfrac56 P,\qquad \tfrac13 P + \tfrac23 \cdot \tfrac12 P = \tfrac23 P,\qquad \tfrac13 P + \tfrac23 \cdot \tfrac14 P = \tfrac12 P.

Сколько длится каждая четверть

Время работы обратно пропорционально мощности: заряд, которого при мощности $P$ хватает на время $t$ при мощности $wP$ расходуется за $\dfrac tw$ При полной мощности весь заряд уходит за $4$ часа, четверть — за $1$ час. Значит, четверти длятся

1,\qquad \frac1{5/6} = 1{,}2,\qquad \frac1{2/3} = 1{,}5,\qquad \frac1{1/2} = 2 \text{ часа}.

Общее время

1 + 1{,}2 + 1{,}5 + 2 = 5{,}7 \text{ часа}.

Округлять не нужно: ответ точный.

Проверка

Проверка через «энергию» батареи: возьмём $P = 1$ тогда заряд $4$ (в единицах мощность·час), четверть — $1$ За отрезки тратится $1 \cdot 1 + \tfrac56 \cdot 1{,}2 + \tfrac23 \cdot 1{,}5 + \tfrac12 \cdot 2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$ — ровно весь заряд. Другие версии: $3$ ч и $\tfrac25$ — $0{,}75\left(1 + \tfrac1{0{,}9} + \tfrac1{0{,}8} + \tfrac1{0{,}7}\right) \approx 3{,}592$ ; $4$ ч и $\tfrac16$ — $1 + \tfrac{24}{23} + \tfrac{24}{22} + \tfrac{24}{21} \approx 4{,}277$ ; $3$ ч и $\tfrac12$ — $0{,}75\left(1 + \tfrac87 + \tfrac43 + \tfrac85\right) \approx 3{,}807$ .

Ответ

$5{,}7$ часа.

Ответ

$5{,}7$ часа.

Главная идея

Работа делится на четыре четверти заряда; на каждой мощность постоянна (1, 5/6, 2/3, 1/2 от полной), и четверть длится 1 : w часа.

Процесс, где скорость меняется скачками, — разбить на участки с постоянной скоростью и сложить время участков.

Где легко ошибиться

Считать, что яркость падает на 25% от текущей, а не от первоначальной; уменьшать на 25% всю мощность, а не только мощность экрана; умножать время на мощность вместо деления.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 6, версия с ID 3886 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3889, 3888, 3887) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М9 2 попытка», стр. 6 ↗: ID 3886: 5,7; ID 3889: 3,592; ID 3888: 4,277; ID 3887: 3,807.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Работа и производительность →

Тема, знания и приёмы

Работа и производительность · Нужна школьная база

Обратная пропорциональность
Доли и проценты

Приёмы решения: Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →