Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Про числа $a$ $b$ $c$ $d$ известно, что $a^2 + 7b^2 = 14$ $bc - ad = 7$ $ac + 7bd = \sqrt{210}$ Найдите наибольшее значение выражения $c^2 + 7d^2$

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Попробуй перемножить $(a^2 + 7b^2)(c^2 + 7d^2)$ и сравнить с квадратами выражений $ac + 7bd$ и $bc - ad$ В модели двигай точку $(a;\,b)$ и следи, как ведёт себя точка $(c;\,d)$ Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТочки на эллипсах

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Точки на эллипсах

Меняется ли c² + 7d², если менять a и b?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми a = √14, b = 0 и найди c и d из двух условий. Потом возьми a = 0, b = √2 и снова найди c и d. Посчитай c² + 7d² в обоих случаях.

Подсказка 1

Раскрой скобки: $(ac + 7bd)^2 + 7(bc - ad)^2$ . Удвоенные произведения $\pm 14abcd$ сокращаются. Что получилось?

Подсказка 2

$(a^2 + 7b^2)(c^2 + 7d^2) = (ac + 7bd)^2 + 7(bc - ad)^2$ . Подставь известные значения — выражение $c^2 + 7d^2$ находится однозначно. Осталось убедиться, что такие числа вообще существуют.

Разобрать решение по шагам

Тождество

Раскроем скобки:

(ac + 7bd)^2 + 7(bc - ad)^2 = a^2c^2 + 14abcd + 49b^2d^2 + 7b^2c^2 - 14abcd + 7a^2d^2 = a^2c^2 + 7a^2d^2 + 7b^2c^2 + 49b^2d^2.

Справа — как раз $(a^2 + 7b^2)(c^2 + 7d^2)$ Итак,

(a^2 + 7b^2)(c^2 + 7d^2) = (ac + 7bd)^2 + 7(bc - ad)^2.

Подставим условия

14\,(c^2 + 7d^2) = \left(\sqrt{210}\right)^2 + 7 \cdot 7^2 = 210 + 343 = 553, \qquad c^2 + 7d^2 = \frac{553}{14} = 39{,}5.

При любых подходящих $a$ $b$ $c$ $d$ выражение принимает одно и то же значение — значит, оно и наибольшее.

Такие числа существуют

Возьмём $a = \sqrt{14}$ $b = 0$ тогда $a^2 + 7b^2 = 14$ Условие $bc - ad = 7$ даёт $d = -\dfrac{7}{\sqrt{14}}$ , а $ac + 7bd = \sqrt{210}$ даёт $c = \dfrac{\sqrt{210}}{\sqrt{14}} = \sqrt{15}$ . Проверка: $c^2 + 7d^2 = 15 + 7 \cdot \dfrac{49}{14} = 15 + 24{,}5 = 39{,}5$ .

Ответ: $39{,}5$

Проверка

Модель берёт любую точку $(a;\,b)$ на эллипсе $a^2 + 7b^2 = 14$ и решает два линейных условия относительно $c$ и $d$ (определитель $-(a^2 + 7b^2) = -14 \ne 0$ ); тест проверяет все три условия и $c^2 + 7d^2 = 39{,}5$ для точек по всему эллипсу. Другие версии: $\tfrac{360 + 9^3}{18} = 60{,}5$ ; в версиях ID 3884 и 3883 знаки другие ( $bc + ad$ $ac - qbd$ ), тождество $(a^2 + qb^2)(c^2 + qd^2) = (ac - qbd)^2 + q(bc + ad)^2$ даёт $\tfrac{517 + 11^3}{22} = 84$ и $\tfrac{702 + 13^3}{26} = 111{,}5$ .

Ответ

$39{,}5$

Ответ

$39{,}5$

Главная идея

Тождество (a² + 7b²)(c² + 7d²) = (ac + 7bd)² + 7(bc − ad)² сразу даёт c² + 7d² = (210 + 343)/14; значение единственно, и пример показывает, что оно достигается.

Даны a² + qb², ac + qbd и bc − ad — тождество для произведения сумм квадратов (как |z|·|w| = |zw|).

Где легко ошибиться

Пытаться найти a, b, c, d по отдельности; потерять множитель 7 перед (bc − ad)²; не заметить, что «наибольшее» здесь — единственное значение, и не проверить существование.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 5, версия с ID 3882 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3885, 3884, 3883) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М9 2 попытка», стр. 5 ↗: ID 3882: 39,5; ID 3885: 60,5; ID 3884: 84; ID 3883: 111,5.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Преобразования выражений →

Тема, знания и приёмы

Преобразования выражений · Начальный вход

Квадрат суммы и разности
Раскрытие скобок

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →