Задача 7. Четыре замены и делимость на 275

Признаки делимости

$275 = 25 \cdot 11$, множители взаимно просты, поэтому число делится на $275$ тогда и только тогда, когда делится на $25$ и на $11$.

• На $25$ — когда две последние цифры $00$, $25$, $50$ или $75$.
• На $11$ — когда знакочередующаяся сумма цифр (единицы с плюсом, десятки с минусом, сотни с плюсом и так далее) делится на $11$.

Последние две цифры меняются обязательно

Число оканчивается на $89$. Цифра десятков $8$ не встречается ни в одном из окончаний $00, 25, 50, 75$, цифра единиц $9$ — тоже. Значит, обе последние цифры придётся заменить, и на остальные семь цифр остаётся ровно две замены.

Самое маленькое начало

Из двух девятизначных чисел меньше то, у которого раньше встречается меньшая цифра. Первая цифра не меньше $1$, вторая не меньше $0$, поэтому самое маленькое возможное начало — $10$. Чтобы его получить, нужно заменить $9 \to 1$ и $8 \to 0$ — это ровно две оставшиеся замены. Тогда цифры с третьей по седьмую остаются прежними:

Если хотя бы одно такое число делится на $11$, наименьшее из них и будет ответом: любое другое подходящее число начинается с цифр больше, чем $10$.

Выбираем окончание

Знакочередующаяся сумма числа $1076567ab$, начиная с единиц:

Для окончаний $00, 25, 50, 75$ получаем $8$, $11$, $3$, $6$ — на $11$ делится только $11$. Значит, единственный вариант с началом $10$ — число $107\,656\,725$, оно и наименьшее.