Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Назовём натуральное четырёхзначное число хорошим, если оно имеет в своей записи ровно две различные цифры, причём эти цифры имеют одну чётность. Найдите количество хороших чисел.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Сначала выбери, какие две цифры будут в записи, потом — как их расставить. Чем пара с нулём отличается от остальных? В модели выбирай пары цифр и смотри, сколько чисел из них получается. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЧисла из двух цифр

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Числа из двух цифр

Сколько чисел получается из одной пары цифр и сколько таких пар?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Выпиши все трёхзначные числа, составленные ровно из цифр 1 и 3, затем — ровно из цифр 0 и 2. Сколько их в каждом случае?

Подсказка 1

Пар цифр одной чётности: нечётных — $\binom52 = 10$ чётных — тоже $10$ из них $4$ пары содержат ноль. Для пары без нуля посчитай четырёхзначные записи, в которых есть обе цифры.

Подсказка 2

Из двух цифр без нуля можно составить $2^4$ записей, но две из них состоят из одной цифры. В паре $\{0, d\}$ первая цифра обязана быть $d$ а остальные три не могут все быть $d$

Разобрать решение по шагам

Какие пары цифр подходят

В записи хорошего числа ровно две различные цифры одной чётности.

Обе нечётные: из $1, 3, 5, 7, 9$ выбираем две — $\binom52 = 10$ пар.
Обе чётные: из $0, 2, 4, 6, 8$ — тоже $10$ пар; из них $4$ пары с нулём ( $\{0,2\}, \{0,4\}, \{0,6\}, \{0,8\}$ ) и $6$ пар без нуля.

Итак, $16$ пар без нуля и $4$ пары с нулём.

Пара без нуля

Каждая из четырёх цифр — одна из двух цифр пары: $2^4 = 16$ записей. Две из них ( $aaaa$ и $bbbb$ ) состоят из одной цифры — в них нет второй цифры. Остаётся $16 - 2 = 14$ чисел на каждую пару.

Пара с нулём

Пусть пара $\{0, d\}$ Четырёхзначное число не начинается с нуля, поэтому первая цифра — $d$ Остальные три — любые из $0$ и $d$ $2^3 = 8$ вариантов, но запись $dddd$ не содержит нуля. Остаётся $8 - 1 = 7$ чисел на каждую такую пару.

Итог

16 \cdot 14 + 4 \cdot 7 = 224 + 28 = 252.

Проверка

Прямой перебор всех четырёхзначных чисел (тест модели) находит ровно $252$ хороших числа; для пяти-, шести- и семизначных — $540$ $1\,116$ и $2\,268$ Это совпадает с формулой $16(2^n - 2) + 4(2^{n-1} - 1)$ : $16 \cdot 30 + 4 \cdot 15 = 540$ , $16 \cdot 62 + 4 \cdot 31 = 1\,116$ , $16 \cdot 126 + 4 \cdot 63 = 2\,268$ .

Ответ

$252$

Ответ

$252$

Главная идея

Выбрать пару цифр одной чётности (16 пар без нуля, 4 с нулём), затем посчитать записи, где встречаются обе цифры: 2⁴ − 2 и 2³ − 1.

«Ровно две различные цифры» — сначала выбрать цифры, потом расстановку, вычесть записи из одной цифры; ноль отдельно из-за первой позиции.

Где легко ошибиться

Забыть, что число не начинается с нуля; не вычесть записи из одной цифры; посчитать пары нечётных и чётных цифр одинаково, не выделив ноль.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 3, версия с ID 3874 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3877, 3876, 3875) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М9 2 попытка», стр. 3 ↗: ID 3874: 252; ID 3877: 540; ID 3876: 1 116; ID 3875: 2 268.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Правило произведения
Число сочетаний

Приёмы решения: Разбор случаев · Подсчёт дополнения

Задать вопрос по задаче →