Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Точки $K$ $M$ $P$ лежат на сторонах $AB$ $BC$ $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Известно, что $BKPM$ — квадрат, а расстояния от точек $K$ и $M$ до прямой $AC$ равны $13$ и $17$ соответственно. Найдите площадь квадрата $BKPM$

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Какой угол у треугольника при вершине $B$ Опусти перпендикуляры из $K$ и $M$ на $AC$ — что общего у двух получившихся прямоугольных треугольников с вершиной $P$ В модели подбирай сторону квадрата и наклон $AC$ Ниже можно сверить ответ — площадь квадрата.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКвадрат в прямом угле

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Квадрат в прямом угле

При какой стороне квадрата и каком наклоне AC расстояния будут как в условии?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй квадрат со стороной 5 в прямом угле и проведи через противоположную вершину несколько прямых. Измерь расстояния от двух других вершин до каждой прямой и сложи их квадраты.

Подсказка 1

$K$ и $M$ лежат на сторонах угла $B$ а $BKPM$ — квадрат, поэтому $\angle B = 90^\circ$ Опусти перпендикуляры $KF$ и $MT$ на $AC$ $KF = 13$ $MT = 17$

Подсказка 2

Стороны $PK$ и $PM$ квадрата равны и перпендикулярны. Сравни прямоугольные треугольники $KFP$ и $PTM$ у них равные гипотенузы и равные острые углы. Чему тогда равен отрезок $FP$

Разобрать решение по шагам

Прямой угол и два перпендикуляра

$K$ лежит на $AB$ $M$ — на $BC$ а $BKPM$ — квадрат с вершиной $B$ Поэтому угол $ABC$ — угол квадрата, $\angle B = 90^\circ$ а $P$ — вершина квадрата, противоположная $B$

Опустим перпендикуляры $KF$ и $MT$ на прямую $AC$ По условию $KF = 13$ $MT = 17$ Точки $K$ и $M$ лежат на сторонах треугольника, то есть по одну сторону от прямой $AC$

Два равных прямоугольных треугольника

Угол $KPM$ прямой, а $F$ $P$ $T$ лежат на одной прямой, поэтому $\angle KPF + \angle MPT = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ . В прямоугольном треугольнике $KFP$ острые углы тоже дают в сумме $90^\circ$ $\angle FKP = 90^\circ - \angle KPF = \angle MPT$ .

Прямоугольные треугольники $KFP$ и $PTM$ равны по гипотенузе ( $KP = PM$ — стороны квадрата) и острому углу. Значит, $FP = TM = 17$

Прямоугольные треугольники KFP и PTM равны: у них равные гипотенузы KP = PM и равные острые углы. Поэтому FP = MT, и KP² = KF² + MT².

Площадь квадрата

Из прямоугольного треугольника $KFP$ по теореме Пифагора

S_{BKPM} = KP^2 = KF^2 + FP^2 = 13^2 + 17^2 = 169 + 289 = 458.

Такая картинка существует: повернём квадрат со стороной $\sqrt{458}$ так, чтобы прямая через $P$ шла под нужным наклоном (на рисунке), и продолжим её до пересечения со сторонами прямого угла.

Проверка

Координаты для проверки: $B = (0;\,0)$ $K = (0;\,s)$ $M = (s;\,0)$ $P = (s;\,s)$ $s = \sqrt{458}$ прямая $AC$ проходит через $P$ с направлением $(17;\,-13)$ Расстояние от $K$ до неё $s \cdot \tfrac{13}{s} = 13$ , от $M$ — $s \cdot \tfrac{17}{s} = 17$ ; $A = (0;\,\tfrac{30}{17}s)$ , $C = (\tfrac{30}{13}s;\,0)$ — точки $K$ $M$ $P$ лежат на сторонах. Другие версии: $11^2 + 18^2 = 445$ $(7\sqrt3)^2 + 16^2 = 147 + 256 = 403$ ; $15^2 + (4\sqrt{17})^2 = 225 + 272 = 497$ .

Ответ

$458$

Ответ

$458$

Главная идея

Угол B прямой; стороны PK и PM квадрата равны и перпендикулярны, поэтому прямоугольные треугольники с гипотенузами PK и PM равны, и квадрат стороны равен сумме квадратов двух расстояний.

Квадрат (или два равных перпендикулярных отрезка) и расстояния до прямой — два равных прямоугольных треугольника «повёрнутых» на 90°.

Где легко ошибиться

Сложить расстояния вместо их квадратов (30² = 900); перемножить расстояния; не обосновать, что угол B прямой.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 1, версия с ID 3866 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3869, 3868, 3867) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М9 2 попытка», стр. 1 ↗: ID 3866: 458; ID 3869: 445; ID 3868: 403; ID 3867: 497.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Нужна школьная база

Признаки равенства прямоугольных треугольников
Теорема Пифагора

Приёмы решения: Дополнительное построение · Поворот плоскости

Задать вопрос по задаче →