Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Попарно различные натуральные числа $m$ $n$ $k$ таковы, что $m + n + k = 301$ Найдите наибольшее возможное значение суммы корней уравнения $2x^2 + (m + k)n = (m + 2n + k)x$ .

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Перенеси всё в одну часть. Нельзя ли разложить левую часть на множители? От какого из трёх чисел сумма корней зависит сильнее всего? В модели подбирай $m$ и $n$ и смотри на корни. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКорни на оси

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Корни на оси

При каких m, n, k сумма корней наибольшая?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми m = 100, n = 100, k = 101 и реши уравнение. Потом увеличь n на 10, уменьшив k на 10. Как изменились корни?

Подсказка 1

$2x^2 - (m + 2n + k)x + (m + k)n = (2x - (m + k))(x - n)$ . Проверь, раскрыв скобки. Какие корни у уравнения?

Подсказка 2

Корни $n$ и $\dfrac{m + k}2$ их сумма $n + \dfrac{301 - n}2 = \dfrac{301 + n}2$ . Насколько большим может быть $n$ если $m$ и $k$ — разные натуральные числа?

Разобрать решение по шагам

Разложим на множители

Перенесём всё влево: $2x^2 - (m + 2n + k)x + (m + k)n = 0$ . Сгруппируем:

2x^2 - 2nx - (m + k)x + (m + k)n = 2x(x - n) - (m + k)(x - n) = (2x - (m + k))(x - n).

Корни уравнения: $x_1 = n$ и $x_2 = \dfrac{m + k}2$

Сумма корней

Корни совпадают, только если $m + k = 2n$ то есть $3n = 301$ — это невозможно ( $301$ не делится на $3$ ). Значит, корней всегда два, и их сумма

n + \frac{m + k}2 = n + \frac{301 - n}2 = \frac{301 + n}2.

Она тем больше, чем больше $n$

Наибольшее n

$m$ и $k$ — различные натуральные числа, поэтому $m + k \ge 1 + 2 = 3$ и $n = 301 - (m + k) \le 298$ . Значение $n = 298$ достигается при $m = 1$ $k = 2$ (или наоборот): все три числа различны. Тогда корни $298$ и $1{,}5$ их сумма

\frac{301 + 298}2 = 299{,}5.

Проверка

Подстановка $m = 1$ $n = 298$ $k = 2$ уравнение $2x^2 + 3 \cdot 298 = 599x$ , то есть $2x^2 - 599x + 894 = 0$ по теореме Виета сумма корней $\tfrac{599}2 = 299{,}5$ корни $298$ и $1{,}5$ Перебор всех троек различных натуральных чисел с суммой $301$ (тест модели) даёт тот же максимум. Другие версии: $S = 257, 432, 586$ — ответы $\tfrac{2S - 3}2 = 255{,}5$ , $430{,}5$ $584{,}5$ (при $S = 432$ корни могут совпасть при $n = 144$ но эта сумма меньше).

Ответ

$299{,}5$

Ответ

$299{,}5$

Главная идея

Уравнение раскладывается: (2x − (m + k))(x − n) = 0; сумма корней (301 + n)/2 растёт с n, а n ≤ 301 − 1 − 2 = 298.

Квадратное уравнение с параметрами, где коэффициенты — суммы и произведения этих параметров, — попробовать разложить на множители.

Где легко ошибиться

Взять m = k = 1 (числа должны быть различны) и получить 300; забыть про условие различности n с m и k; не проверить, что корни не совпадают.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 4, версия с ID 3878 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3881, 3880, 3879) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М9 2 попытка», стр. 4 ↗: ID 3878: 299,5; ID 3881: 255,5; ID 3880: 430,5; ID 3879: 584,5.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Уравнения и системы →

Тема, знания и приёмы

Уравнения и системы · Нужна школьная база

Разложение на множители группировкой
Теорема Виета

Приёмы решения: Разложение на множители · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →