Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №7 — решение · финал

Условие

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно так, что $\angle MNB = \angle ANC = 80^\circ$ . Найдите $\angle CAN$ если известно, что $BN \cdot MA = 2BM \cdot NC$ .

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 9
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Попробуй угадать ответ по модели: двигай точку $B$ и угол $CAN$ и смотри, когда отношение $\dfrac{BN \cdot MA}{BM \cdot NC}$ становится равным $2$ Запиши свой ответ, потом сравни с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодбери угол CAN

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подбери угол CAN

При каком угле CAN отношение BN·MA к BM·NC равно 2 — и зависит ли это от положения точки B?

Если модель не открылась, попробуй так. Начерти угол ANC = 80° с NC = 4 см, выбери угол CAN = 10°, продли CN за N и возьми там точку B; из N проведи луч под углом 80° к NB до пересечения с AB — это M. Измерь BN, BM, MA и сравни BN·MA с 2BM·NC. Повтори для другого положения B.

Подсказка 1

Перепиши условие в виде отношения: $\dfrac{BN}{BM} = \dfrac{2NC}{MA}$ . Чтобы справа стояли отрезки, лежащие на сторонах угла $B$ нужен отрезок длины $2NC$ на прямой $BC$ — удвой $NC$ за точку $C$

Подсказка 2

Отметь на луче $BC$ за точкой $C$ точку $T$ с $CT = CN$ тогда $NT = 2NC$ и $\dfrac{BN}{BM} = \dfrac{NT}{MA}$ , а это означает $MN \parallel AT$ (обратная теорема о пропорциональных отрезках). Тогда $\angle ATN = \angle MNB = 80^\circ = \angle ANT$ — треугольник $ANT$ равнобедренный, а $C$ — середина его основания. Что тогда можно сказать про $AC$

Разобрать решение по шагам

Условие как пропорция

Равенство $BN \cdot MA = 2BM \cdot NC$ перепишем так:

\frac{BN}{BM} = \frac{2NC}{MA}.

Слева — отношение отрезков, отложенных от вершины $B$ по сторонам угла $B$ $BN$ по $BC$ и $BM$ по $BA$ Хочется, чтобы и справа были отрезки на тех же сторонах, продолжающие их: $MA$ уже лежит на $BA$ а $2NC$ надо «построить» на $BC$

Точка T: удваиваем NC

Отметим на продолжении $BC$ за точку $C$ точку $T$ так, что $CT = CN$ Тогда $NT = NC + CT = 2NC$ и условие принимает вид

\frac{BN}{BM} = \frac{NT}{MA}, \qquad \text{то есть} \qquad \frac{BN}{NT} = \frac{BM}{MA}.

Точки $N$ и $M$ делят отрезки $BT$ и $BA$ в одном и том же отношении.

MN параллельна AT

По обратной теореме о пропорциональных отрезках (обратной теореме Фалеса для угла $B$ ) из $\dfrac{BN}{NT} = \dfrac{BM}{MA}$ следует $MN \parallel AT$ При параллельных прямых $MN$ и $AT$ и секущей $BT$ соответственные углы равны:

\angle ATN = \angle MNB = 80^\circ.

Треугольник ANT равнобедренный

В треугольнике $ANT$ углы при основании $NT$ равны: $\angle ANT = \angle ANC = 80^\circ$ (это тот же угол, так как $C$ лежит на $NT$ ) и $\angle ATN = 80^\circ$ Значит, $AN = AT$ а $C$ — середина основания $NT$ (по построению $CN = CT$ ). Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является и высотой: $AC \perp NT$ то есть $\angle ACN = 90^\circ$

Точка T с CT = CN; MN ∥ AT, треугольник ANT равнобедренный, AC — его высота.

Ответ

В прямоугольном треугольнике $ANC$ $\angle CAN = 90^\circ - \angle ANC = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ$ .

Проверка

Правила модели строят треугольник по координатам: $N$ в начале, $C$ на единичном расстоянии, $A$ по углам $\angle ANC = 80^\circ$ и $\angle CAN = x$ $B$ — на луче $CN$ за $N$ на произвольном расстоянии, $M$ — пересечение $AB$ с лучом из $N$ под углом $80^\circ$ к $NB$ Отношение $\dfrac{BN \cdot MA}{BM \cdot NC}$ равно $2$ с точностью $10^{-9}$ при $x = 10^\circ$ для трёх разных положений $B$ (и при $x = 90^\circ - \varphi$ для $\varphi = 70^\circ$ $60^\circ$ ), отличается от $2$ при $x = 6^\circ$ и $14^\circ$ а при росте $x$ монотонно убывает — решение единственно. Угол $ACN$ при $x = 10^\circ$ равен $90^\circ$ Для варианта $10$ ( $70^\circ$ ) ответ $20^\circ$

Ответ

$\angle CAN = 10^\circ$

Ответ

$\angle CAN = 10^\circ$

Главная идея

Удвоить NC точкой T за C: тогда условие превращается в равенство отношений BN/NT = BM/MA, откуда MN ∥ AT, треугольник ANT равнобедренный с углами 80°, а AC — его медиана и высота: ∠C = 90°, ∠CAN = 10°.

Произведение отрезков с коэффициентом 2 в треугольнике — достройка удвоенного отрезка и теорема о пропорциональных отрезках (параллельность).

Где легко ошибиться

Пытаться применить теорему синусов без достройки и утонуть в тригонометрии; откладывать T не за C, а за N; решить, что ответ зависит от положения точки B (на самом деле отношение не зависит от того, где B, а только от угла CAN).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 9, задача 7. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 10): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Продвинутая подготовка

Теорема о пропорциональных отрезках и обратная к ней
Углы при параллельных прямых и секущей
Медиана равнобедренного треугольника — высота

Приёмы решения: Дополнительное построение · Подобие треугольников · Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →