Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №2 — решение · финал

Условие

Из суммы квадратов пяти последовательных натуральных чисел вычли число $10$ и получили куб натурального числа $N$ большего $6$ Найдите наименьшее возможное значение $N$

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 9
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Попробуй угадать $N$ возьми пять чисел подряд, сложи их квадраты, вычти $10$ — что получается за число? Запиши свою догадку, потом проверь её в модели и сравни с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодбери среднее число

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подбери среднее число

При каком среднем числе остаток после вычитания 10 станет кубом — и что общего у таких остатков?

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми числа 3, 4, 5, 6, 7, сложи квадраты, вычти 10 и разложи результат на простые множители. Повтори для среднего числа 10 и 40. Когда получается куб?

Подсказка 1

Обозначь среднее из пяти чисел через $m$ и выпиши сумму $(m-2)^2 + (m-1)^2 + m^2 + (m+1)^2 + (m+2)^2$ . Зачем в условии вычитают именно $10$

Подсказка 2

После вычитания $10$ остаётся ровно $5m^2$ Значит, $5m^2 = N^3$ куб делится на $5$ поэтому $N = 5k$ и тогда $m^2 = 25k^3$ — число $k^3$ должно быть точным квадратом. Это возможно, только если $k$ сам точный квадрат. Какое наименьшее $k > 1$ подходит и почему $k = 1$ нельзя?

Разобрать решение по шагам

Сумма квадратов через среднее число

Пусть пять чисел — это $m-2$ $m-1$ $m$ $m+1$ $m+2$ (среднее $m \geqslant 3$ ). Тогда

(m-2)^2 + (m-1)^2 + m^2 + (m+1)^2 + (m+2)^2 = 5m^2 + (4 + 1 + 0 + 1 + 4) = 5m^2 + 10.

Удвоенные произведения $\pm 4m$ $\pm 2m$ сокращаются, остаются квадраты отступов — их сумма и есть $10$ После вычитания получается $5m^2 = N^3$

N делится на 5

$N^3 = 5m^2$ делится на простое число $5$ значит, и $N$ делится на $5$ $N = 5k$ $k$ — натуральное. Подставим: $125k^3 = 5m^2$ откуда $m^2 = 25k^3$ и $k^3 = \left(\dfrac{m}{5}\right)^2$ — куб числа $k$ оказался точным квадратом (а $m$ делится на $5$ ).

k — точный квадрат

В разложении $k^3$ на простые множители все показатели степени делятся на $3$ раз $k^3$ — квадрат, они делятся и на $2$ то есть на $6$ Тогда в самом $k$ все показатели чётные: $k = t^2$ Отсюда $N = 5t^2$ $m = 5t^3$

Наименьшее N > 6

При $t = 1$ получаем $N = 5 \leqslant 6$ — не подходит по условию. При $t = 2$ $N = 20$ $m = 40$ Проверка: $38^2 + 39^2 + 40^2 + 41^2 + 42^2 - 10 = 5 \cdot 1600 = 8000 = 20^3$ . Итак, наименьшее $N = 20$

Проверка

Правила модели перебирают $N$ от $7$ по порядку и для каждого проверяют, является ли $N^3/5$ точным квадратом с натуральным корнем $m \geqslant 3$ первое подходящее $N$ равно $20$ (с $m = 40$ ), а $N = 7, \dots, 19$ не подходят. Тождество «сумма пяти квадратов $-\,10 = 5m^2$ » проверено для нескольких $m$ при $N > 20$ следующее подходящее $N$ равно $45 = 5 \cdot 3^2$ что согласуется с общей формулой $N = 5t^2$ Для варианта $10$ (семь чисел, вычитают $28$ пятая степень, $N > 8$ ) тот же перебор даёт $N = 28 = 7 \cdot 2^2$ с $m = 7^2 \cdot 2^5 = 1568$

Ответ

$N = 20$

Ответ

$N = 20$

Главная идея

Сумма пяти квадратов минус 10 равна 5m², где m — среднее число; из 5m² = N³ следует N = 5k, k³ — квадрат, поэтому k — квадрат, и наименьшее N > 6 равно 5·2² = 20.

Сумма квадратов симметричных чисел — считай через среднее; уравнение «простое × квадрат = куб» — сравнивай показатели степеней простых.

Где легко ошибиться

Остановиться на N = 5 (t = 1), забыв условие N > 6, или решить, что из k³ = квадрат следует k = 1. Ещё одна ошибка — обозначить первое число через n и запутаться в раскрытии скобок.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 9, задача 2. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 10): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Делимость и простые множители →

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Нужна школьная база

Формула квадрата суммы
Разложение на простые множители и показатели степеней
Делимость куба на простое число

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Разложение на множители · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →