Задача 5. Уравнение 19·2ˣ + 2025 = y² в целых числах

Ограничения на x и y

Если $x < 0$, то $19 \cdot 2^x = \dfrac{19}{2^{|x|}}$ — не целое (19 нечётно), а $y^2 - 2025$ целое; значит, $x \geqslant 0$. Пары $(x; y)$ и $(x; -y)$ подходят или не подходят одновременно, поэтому ищем $y \geqslant 0$. Так как $y^2 = 19 \cdot 2^x + 2025 > 45^2$, получаем $y > 45$.

Разность квадратов

$2025 = 45^2$, и уравнение переписывается как

Оба сомножителя положительны, их разность равна $90$, причём $y + 45 > 90$.

Случай x = 0 и чётность при x ≥ 1

При $x = 0$: $y^2 = 2044$, а $45^2 = 2025 < 2044 < 2116 = 46^2$ — не квадрат. Пусть $x \geqslant 1$. Произведение $(y - 45)(y + 45)$ чётное, а сомножители отличаются на $90$ — чётное число, поэтому они одной чётности, то есть оба чётные. Но $90$ не делится на $4$, значит, ровно один сомножитель делится на $4$, а другой имеет вид $2 \cdot (\text{нечётное})$. Нечётные делители числа $19 \cdot 2^x$ — только $1$ и $19$, так что этот сомножитель равен $2$ или $38$.

Два случая

Поскольку $y + 45 > 90$, «маленький» сомножитель — это $y - 45$.

Если $y - 45 = 38$, то $y = 83$, $y + 45 = 128 = 2^7$, и $19 \cdot 2^x = 38 \cdot 128 = 19 \cdot 2^8$, откуда $x = 8$.

Если $y - 45 = 2$, то $y = 47$, $y + 45 = 92 = 4 \cdot 23$, а должно быть $19 \cdot 2^{x-1}$ — делитель $23$ лишний, решений нет.

Ответ и проверка

$19 \cdot 2^8 + 2025 = 19 \cdot 256 + 2025 = 4864 + 2025 = 6889 = 83^2$. Вместе с отрицательным $y$ получаем две пары: $(8; 83)$ и $(8; -83)$.