Задача 3. Неравенство вида |A + B| ≥ |A| + |B|

Увидеть структуру

Пусть $A = \sqrt{x^2 - 2x - 3} + 2x - 1$ и $B = 7 - 2x$. Тогда $A + B = \sqrt{x^2 - 2x - 3} + 6$ — это как раз выражение под модулем слева. Неравенство принимает вид

Обычно верно обратное — неравенство треугольника $|A + B| \leqslant |A| + |B|$. Поэтому наше неравенство означает равенство $|A + B| = |A| + |B|$, а оно выполняется только при $AB \geqslant 0$.

Оба выражения неотрицательны

$A + B = \sqrt{\dots} + 6 \geqslant 6 > 0$, поэтому случай «оба отрицательны» невозможен. Остаётся $A \geqslant 0$ и $B \geqslant 0$, то есть система

вместе с областью определения $x^2 - 2x - 3 = (x+1)(x-3) \geqslant 0$, то есть $x \leqslant -1$ или $x \geqslant 3$.

Кусок x ≤ −1: решений нет

Здесь $7 - 2x > 0$ автоматически. Первое неравенство: $\sqrt{x^2 - 2x - 3} \geqslant 1 - 2x$, где правая часть $1 - 2x \geqslant 3 > 0$. Возводим в квадрат: $x^2 - 2x - 3 \geqslant 1 - 4x + 4x^2$, то есть $3x^2 - 2x + 4 \leqslant 0$. Дискриминант $4 - 48 < 0$, трёхчлен всегда положителен — решений нет.

Кусок x ≥ 3: ответ

Здесь $2x - 1 \geqslant 5 > 0$, значит $A > 0$ автоматически. Из $B \geqslant 0$ получаем $x \leqslant \dfrac{7}{2}$. Вместе с $x \geqslant 3$: $x \in \left[3; \dfrac{7}{2}\right]$. Проверка концов: при $x = 3$ корень равен $0$, неравенство $6 \geqslant 5 + 1$ — верно; при $x = 3{,}5$ оно превращается в равенство $|A| \geqslant |A| + 0$.