Задача 6. Наибольшее значение x² − 6x + a на окружности

Случай a = 0

При $a = 0$ уравнение $x^2 + y^2 = 0$ задаёт одну точку $(0; 0)$, и выражение равно $0 \neq 8$. Этот случай не подходит.

Выражение зависит только от x

При $a \neq 0$ множество — окружность с центром $O$ и радиусом $R = |a|$. Выражение $x^2 - 6x + a$ не содержит $y$, а абсцисса $x$ точки окружности пробегает весь отрезок $[-R; R]$ (каждому $x$ из него отвечает точка окружности). Значит, нужно найти наибольшее значение функции $f(x) = x^2 - 6x + a$ на отрезке $[-R; R]$.

Максимум на дальнем конце

$f(x) = (x - 3)^2 - 9 + a$ — парабола с ветвями вверх и вершиной в $x = 3$. На отрезке такая функция наибольшая в том конце, который дальше от вершины. Сравним концы напрямую: $f(-R) - f(R) = 12R > 0$. Значит, максимум достигается при $x = -R = -|a|$ (в точке $(-|a|; 0)$) и равен

Можно думать и геометрически: $(x - 3)^2$ — квадрат расстояния от точки до прямой $x = 3$, а самая далёкая от неё точка окружности — $(-|a|; 0)$ на расстоянии $|a| + 3$.

Уравнение для a

Условие $a^2 + 6|a| + a = 8$.

При $a > 0$: $a^2 + 7a - 8 = 0$, корни $1$ и $-8$; подходит $a = 1$.

При $a < 0$: $a^2 - 6a + a = a^2 - 5a - 8 = 0$, $a = \dfrac{5 \pm \sqrt{57}}{2}$; отрицательный корень $a = \dfrac{5 - \sqrt{57}}{2} \approx -1{,}27$ (второй корень положителен и не подходит этому случаю).

Проверка и ответ

При $a = 1$: окружность радиуса $1$, $f(-1) = 1 + 6 + 1 = 8$. При $a = \dfrac{5 - \sqrt{57}}{2}$: $|a| = \dfrac{\sqrt{57} - 5}{2}$, и

. Ответ: $a = 1$ и $a = \dfrac{5 - \sqrt{57}}{2}$.