Математика · 9 класс

При каком наименьшем натуральном $n$ число $n! + (n+1)! + (n+2)!$ делится на $361$?

Из суммы квадратов пяти последовательных натуральных чисел вычли число $10$ и получили куб натурального числа $N$, большего $6$. Найдите наименьшее возможное значение $N$.

Решите неравенство

На координатной плоскости рассматриваются ромбы с длиной стороны $5$ такие, что абсциссы и ординаты всех четырёх вершин каждого ромба — целые числа из промежутка $[1; 50]$. Сколько существует таких ромбов? Напомним, что квадрат также является ромбом.

Найдите все пары целых чисел $(x; y)$, удовлетворяющих уравнению $19 \cdot 2^x + 2025 = y^2$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых для множества точек плоскости $Oxy$, задаваемых уравнением $x^2 + y^2 = a^2$, наибольшее значение выражения $x^2 - 6x + a$ равно $8$.

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно так, что $\angle MNB = \angle ANC = 80^\circ$. Найдите $\angle CAN$, если известно, что $BN \cdot MA = 2BM \cdot NC$.