Физтех 2024/25 · Математика · 9 кл., №1 — решение · финал

Условие

При каком наименьшем натуральном $n$ число $n! + (n+1)! + (n+2)!$ делится на $361$

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 9
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Сначала попробуй угадать: перебирать $n$ по одному долго — на что похоже число $361$ и как это связано с факториалами? Запиши свой ответ, потом проверь его в модели и сравни с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеГде спрятана девятнадцатка

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Где спрятана девятнадцатка

В каком сомножителе появляется 19 — и при каком n их набирается две?

Если модель не открылась, попробуй так. Вынеси n! за скобки и упрости скобку. Разложи 361 на простые множители. Подставь n = 10, 16, 17, 19 и проверь, делится ли произведение на 19 и на 361.

Подсказка 1

Вынеси из всех трёх слагаемых общий множитель $n!$ и посчитай, что останется в скобках. А число $361$ — это квадрат какого числа?

Подсказка 2

$n! + (n+1)! + (n+2)! = n!\,(n+2)^2$ , а $361 = 19^2$ причём $19$ — простое. Значит, $19$ должно делить либо $n!$ либо $n+2$ В первом случае $n \geqslant 19$ во втором $n \geqslant 17$ Осталось проверить, что при $n = 17$ делится именно на $19^2$ а не только на $19$

Разобрать решение по шагам

Общий множитель n!

Каждое слагаемое содержит $n!$ $(n+1)! = n!\,(n+1)$ $(n+2)! = n!\,(n+1)(n+2)$ Поэтому

n! + (n+1)! + (n+2)! = n!\,\bigl(1 + (n+1) + (n+1)(n+2)\bigr) = n!\,(n^2 + 4n + 4) = n!\,(n+2)^2.

Сумма трёх факториалов превратилась в произведение двух понятных сомножителей.

361 — квадрат простого числа

$361 = 19^2$ и $19$ — простое. Произведение $n!\,(n+2)^2$ делится на $19^2$ только если делится на $19$ а простое $19$ обязано войти хотя бы в один из сомножителей: либо $19 \mid n!$ либо $19 \mid (n+2)$

Оценка снизу

Если $19 \mid n!$ то среди чисел $1, 2, \dots, n$ есть $19$ то есть $n \geqslant 19$ Если $19 \mid n+2$ то $n + 2 \geqslant 19$ то есть $n \geqslant 17$ В любом случае $n \geqslant 17$ меньшие $n$ не подходят, потому что при $n \leqslant 16$ ни $n!$ ни $n+2 \leqslant 18$ не делятся на $19$

Проверка n = 17

При $n = 17$ второй сомножитель равен $(17+2)^2 = 19^2 = 361$ так что всё произведение $17!\cdot 361$ делится на $361$ Квадрат в формуле сработал за нас: достаточно, чтобы $19$ делило $n+2$ один раз, — в квадрате оно появится дважды. Наименьшее подходящее $n$ равно $17$

Проверка

Правила модели вычисляют сумму трёх факториалов точно (длинная арифметика) и перебирают $n$ по порядку: первое $n$ при котором сумма делится на $361$ — это $17$ а при всех $n$ от $1$ до $16$ остаток не нулевой. Тождество $n! + (n+1)! + (n+2)! = n!\,(n+2)^2$ проверено при $n = 0, \dots, 30$ Для варианта $10$ (число $(n-1)! + n! + (n+1)!$ и делитель $289 = 17^2$ ) тот же перебор даёт $n = 16$ там $(n-1)!\,(n+1)^2$ и нужно $n + 1 = 17$

Ответ

$n = 17$

Ответ

$n = 17$

Главная идея

Вынести n! и свернуть скобку в (n+2)²: тогда 361 = 19² делит произведение, как только 19 делит n+2 — уже при n = 17, раньше, чем 19 появится в n!.

Сумма соседних факториалов — вынеси наименьший факториал; делитель вида p² — ищи, в какой сомножитель попадёт простое p.

Где легко ошибиться

Требовать, чтобы на 361 делилось само n! (тогда получается n ≥ 38), и не заметить, что квадрат (n+2)² даёт две девятнадцатки сразу. Или перебирать n подряд без разложения.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 9 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 9, задача 1. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 10): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Делимость и простые множители →

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Нужна школьная база

Факториал и вынесение общего множителя
Разложение на простые множители
Делимость произведения на простое число

Приёмы решения: Разложение на множители · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →