Задача 4. Ромбы со стороной 5 на целых точках

Какими бывают стороны

Сторона ромба — отрезок между целыми точками, то есть вектор $(p; q)$ с целыми $p$, $q$ и $p^2 + q^2 = 25$. Единственные представления: $25 = 25 + 0 = 9 + 16$. Значит, сторона либо параллельна оси ($(\pm 5; 0)$, $(0; \pm 5)$), либо является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $3$ и $4$: $(\pm 3; \pm 4)$, $(\pm 4; \pm 3)$. Всего $12$ векторов, они образуют $6$ направлений (вектор и противоположный ему задают одну прямую).

Ромб — это пара направлений и положение

Выберем две непараллельные стороны ромба: это два вектора $u$ и $v$ из разных направлений. Четыре вершины — $O$, $O + u$, $O + v$, $O + u + v$. Форма ромба зависит только от пары направлений (смена знака $u$ или $v$ сдвигает тот же ромб), а положение — от точки $O$. Поэтому ромбы считаем так: для каждой из $\binom{6}{2} = 15$ пар направлений находим, сколько положений помещается в поле.

Рамка и число положений

Ромб с направлениями $u$ и $v$ занимает по горизонтали $w = |u_x| + |v_x|$ клеток, по вертикали $h = |u_y| + |v_y|$ — он «вписан» в прямоугольник $w \times h$, касаясь всех его сторон вершинами. В поле точек $[1; 50] \times [1; 50]$ прямоугольник $w \times h$ можно поставить $(50 - w)(50 - h)$ способами, и каждое положение даёт ровно один ромб этой формы.

Пятнадцать пар по размерам рамок

Обозначим направления: $a = (5; 0)$, $b = (0; 5)$, $c = (3; 4)$, $d = (4; 3)$, $e = (3; -4)$, $f = (4; -3)$.

• $a$ и $b$: рамка $5 \times 5$ — квадрат, $1$ пара, положений $45 \cdot 45 = 2025$;
• $a$ с $c$ или $e$: $8 \times 4$; $b$ с $d$ или $f$: $4 \times 8$ — $4$ пары, по $42 \cdot 46 = 1932$;
• $a$ с $d$ или $f$: $9 \times 3$; $b$ с $c$ или $e$: $3 \times 9$ — $4$ пары, по $47 \cdot 41 = 1927$;
• $c$ и $e$: $6 \times 8$; $d$ и $f$: $8 \times 6$ — $2$ пары, по $44 \cdot 42 = 1848$;
• $c$, $d$, $e$, $f$ попарно, кроме двух уже учтённых: $cd$, $cf$, $de$, $ef$ — рамка $7 \times 7$, $4$ пары, по $43 \cdot 43 = 1849$.

Итого $1 + 4 + 4 + 2 + 4 = 15$ пар — все учтены.

Сумма

Ромбов $28\,553$ (квадраты $5 \times 5$ и «наклонные» квадраты $cf$, $de$ с перпендикулярными сторонами входят в это число).