Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

В лесничестве организовали три пункта $A$ $B$ $C$ подкорма птиц на время зимних холодов. В силу особенностей их расположения в пункт $A$ прилетает больше всего птиц, а в пункт $C$ — меньше всего. Ежедневно на эти три пункта в сумме выделяется $S$ килограммов корма, который распределяется пропорционально количеству птиц, прилетевших в данный пункт накануне. Известно, что: - $1$ января количества птиц, прилетевших в три пункта, составили геометрическую прогрессию; - $2$ января в каждый из пунктов прилетело на $130$ птиц больше, чем $1$ января; - $2$ января в пункт $C$ прилетело ровно в $3$ раза меньше птиц, чем в пункт $A$ - $3$ января в пункт $A$ выделили на $2{,}34$ кг меньше корма, чем $2$ января; - $3$ января в пункт $C$ выделили на $1{,}56$ кг больше корма, чем $2$ января.

Найдите $S$ Ответ укажите в килограммах.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Обозначь птиц 1 января $n x^2, n x, n$ Какой корм получат пункты 2 и 3 января? В модели подбирай $x$ число птиц и $S$ и проверяй все условия. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТри кормушки

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Три кормушки

При каких числах птиц и каком S выполняются все условия?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми x = 2: найди n из условия «втрое», числа птиц 1 и 2 января и доли корма. Сравни отношение изменений корма с нужным 2,34 : 1,56.

Подсказка 1

Из условия «в $A$ втрое больше, чем в $C$ » 2 января: $n x^2 + 130 = 3(n + 130)$ то есть $n = \dfrac{260}{x^2 - 3}$ Подставь это в числа птиц 2 января — они сократятся до простого отношения.

Подсказка 2

2 января корм делят как $x^2 : x : 1$ а 3 января — как $(3x + 3) : (x + 3) : (x + 1)$ . Запиши изменения корма в $A$ и в $C$ и раздели одно на другое: $S$ сократится, останется уравнение на $x$

Разобрать решение по шагам

Птицы 1 и 2 января

Пусть 1 января в $A$ $B$ $C$ прилетело $n x^2$ $n x$ $n$ птиц; в $A$ больше всего, в $C$ меньше всего, поэтому $x > 1$ 2 января — на $130$ больше в каждом пункте, и в $A$ втрое больше, чем в $C$

n x^2 + 130 = 3(n + 130) \;\Rightarrow\; n(x^2 - 3) = 260 \;\Rightarrow\; n = \frac{260}{x^2 - 3}, \quad x^2 > 3.

Как делят корм

2 января корм делят по птицам 1 января: $x^2 : x : 1$ 3 января — по птицам 2 января. Подставим $n$

n x^2 + 130 = \frac{390(x^2 - 1)}{x^2 - 3}, \quad n x + 130 = \frac{130(x + 3)(x - 1)}{x^2 - 3}, \quad n + 130 = \frac{130(x^2 - 1)}{x^2 - 3}.

Сократив на $\frac{130(x - 1)}{x^2 - 3}$ , получаем отношение $(3x + 3) : (x + 3) : (x + 1)$ , в сумме $5x + 7$

Изменения корма

Обозначим $T = 1 + x + x^2$ Изменения корма с 2 на 3 января:

\Delta_A = S\left(\frac{3x + 3}{5x + 7} - \frac{x^2}{T}\right) = -\frac{S(2x + 1)(x^2 - 3)}{T(5x + 7)}, \qquad \Delta_C = S\left(\frac{x + 1}{5x + 7} - \frac{1}{T}\right) = \frac{S(x + 2)(x^2 - 3)}{T(5x + 7)}.

(Числители: $(3x + 3)T - x^2(5x + 7) = -2x^3 - x^2 + 6x + 3 = -(2x + 1)(x^2 - 3)$ и $(x + 1)T - (5x + 7) = x^3 + 2x^2 - 3x - 6 = (x + 2)(x^2 - 3)$ .)

Находим x и S

По условию $\Delta_A = -2{,}34$ $\Delta_C = 1{,}56$ Делим: $\dfrac{2x + 1}{x + 2} = \dfrac{2{,}34}{1{,}56} = 1{,}5$ , откуда $2x + 1 = 1{,}5x + 3$ $x = 4$

Тогда $n = \frac{260}{13} = 20$ 1 января было $320$ $80$ $20$ птиц, 2 января — $450$ $210$ $150$ ( $450 = 3 \cdot 150$ ✓). Из $\Delta_C$ $S\left(\frac{5}{27} - \frac{1}{21}\right) = S \cdot \frac{26}{189} = 1{,}56$ , $S = \frac{1{,}56 \cdot 189}{26} = 11{,}34$ .

Проверка

2 января корм делят как $320 : 80 : 20$ $A$ получает $11{,}34 \cdot \frac{16}{21} = 8{,}64$ кг, $C$ — $0{,}54$ кг. 3 января — как $450 : 210 : 150$ $A$ — $11{,}34 \cdot \frac{5}{9} = 6{,}3$ кг (на $2{,}34$ меньше ✓), $C$ — $11{,}34 \cdot \frac{5}{27} = 2{,}1$ кг (на $1{,}56$ больше ✓). Тест модели перебирает целые числа птиц и находит единственное решение каждой версии. Другие официальные версии: на $200$ меньше, $+1{,}3$ и $-1{,}1$ кг — $x = \frac53$ птицы $5000, 3000, 1800$ $S = 112{,}7$ на $500$ больше, $-5$ и $+4$ — $x = 2$ $4000, 2000, 1000$ $S = 119$ на $390$ больше, $-12$ и $+9$ — $x = 2{,}5$ $1500, 600, 240$ $S = 117$

Ответ

$11{,}34$ кг.

Ответ

$11{,}34$ кг.

Главная идея

Условие «втрое» выражает n через x, корм 3 января делится в отношении (3x + 3) : (x + 3) : (x + 1), а отношение изменений корма в A и C не зависит от S и даёт x.

Пропорциональное распределение по дням — выписать доли, а неизвестную сумму сократить делением двух условий.

Где легко ошибиться

Делить корм 2 января по птицам 2 января (а не «накануне»); перепутать знаки изменений; не разложить на множители и решать кубическое уравнение вслепую.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 9, версия с ID 3858 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3861, 3860, 3859) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М10 2 попытка», стр. 9–10 ↗: ID 3858: 11,34; ID 3861: 112,7; ID 3860: 119; ID 3859: 117.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Уравнения и системы →

Тема, знания и приёмы

Уравнения и системы · Нужна школьная база

Геометрическая прогрессия
Деление в данном отношении
Разложение многочленов на множители

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Разложение на множители

Задать вопрос по задаче →