Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Окружность с центром $I$ вписана в треугольник $ABC$ и касается его стороны $BC$ в точке $D$ Пусть $E$ — середина $BC$ а точка $F$ взята на стороне $AC$ так, что $BF \perp AI$ Найдите длину отрезка $CF$ если $AB = 20$ $BC = 16$ $DE = 2$

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Чем является $AI$ в треугольнике $ABF$ Как выразить $DE$ через стороны треугольника? В модели подбирай третью сторону $AC$ и следи за $DE$ и за точкой $F$ Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодбор стороны AC

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подбор стороны AC

При какой стороне AC отрезок DE как в условии, а F — на стороне AC?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Построй треугольник со сторонами 20, 16 и 24, отметь середину BC и точку касания вписанной окружности. Измерь DE. Затем проведи из B перпендикуляр к биссектрисе угла A.

Подсказка 1

$AI$ — биссектриса угла $A$ В треугольнике $ABF$ она перпендикулярна $BF$ то есть одновременно биссектриса и высота. Какой это треугольник? Чему равно $AF$

Подсказка 2

Отрезки касательных: $BD = \dfrac{AB + BC - AC}{2}$ , а $BE = \dfrac{BC}{2}$ Отсюда $DE = \dfrac{|AC - AB|}{2}$ . Выбери знак так, чтобы $F$ лежала на стороне $AC$

Разобрать решение по шагам

Треугольник ABF равнобедренный

$AI$ — биссектриса угла $BAC$ (центр вписанной окружности лежит на биссектрисах). Точка $F$ лежит на стороне $AC$ поэтому в треугольнике $ABF$ отрезок $AI$ — биссектриса угла $A$ и по условию он перпендикулярен $BF$ Биссектриса, совпадающая с высотой, бывает только в равнобедренном треугольнике:

AF = AB = 20.

В частности, $F$ на стороне $AC$ возможна только при $AC \geqslant AB$

DE через стороны

Пусть окружность касается $AB$ в точке $P$ и $AC$ в точке $Q$ Отрезки касательных из одной вершины равны: $BP = BD$ $CD = CQ$ $AP = AQ$ Отсюда

BD = \frac{AB + BC - AC}{2}, \qquad BE = \frac{BC}{2}, \qquad DE = |BE - BD| = \frac{|AC - AB|}{2}.

AB = 20, BC = 16, AC = 24: DE = 2, AF = AB = 20, CF = 4.

Какой длины AC

$DE = 2$ даёт $|AC - 20| = 4$ то есть $AC = 24$ или $AC = 16$ Оба треугольника ( $20, 16, 24$ и $20, 16, 16$ ) существуют, но при $AC = 16 < AB$ точка $F$ с $AF = 20$ оказалась бы на продолжении стороны за точкой $C$ По условию $F$ на стороне, поэтому $AC = 24$

Ответ

$CF = AC - AF = 24 - 20 = 4$ . Заметим, что всегда $CF = AC - AB = 2\,DE$ это видно и на рисунке, где $FQ = BP = BD$

Проверка

Для $AB = 20$ $BC = 16$ $AC = 24$ $BD = \frac{20 + 16 - 24}{2} = 6$ , $BE = 8$ $DE = 2$ ✓. Тест модели строит треугольник по координатам, находит $F$ из условия $BF \perp AI$ и получает $CF = 4$ при $AC = 16$ точка $F$ — вне стороны. Перебор $AC$ показывает, что заданное $DE$ дают ровно два треугольника. Другие официальные версии: $AB = 100$ $BC = 95$ $DE = 8$ — $AC = 116$ $CF = 16$ $AB = 20$ $BC = 23$ $DE = 3$ — $AC = 26$ $CF = 6$ $AB = 100$ $BC = 125$ $DE = 18$ — $AC = 136$ $CF = 36$

Ответ

$4$

Ответ

$4$

Главная идея

Биссектриса AI перпендикулярна BF, значит AF = AB; отрезки касательных дают DE = |AC − AB|/2, и CF = 2·DE.

Перпендикуляр к биссектрисе отсекает равнобедренный треугольник; расстояние от точки касания до середины стороны — полуразность сторон.

Где легко ошибиться

Взять AC = 16 (тогда F не на стороне); считать DE = BD − BE без модуля; искать углы треугольника.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 5, версия с ID 3841 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3844, 3843, 3842) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М10 2 попытка», стр. 5 ↗: ID 3841: 4; ID 3844: 16; ID 3843: 6; ID 3842: 36.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Нужна школьная база

Отрезки касательных к вписанной окружности
Свойства равнобедренного треугольника

Приёмы решения: Дополнительное построение · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →