Задача 2. Простое среднее подряд идущих чисел

Среднее — это среднее число ряда

Пусть Олег написал $k, k + 1, \ldots, k + 372$ (наименьшее число — $k$). Разобьём числа на пары, симметричные относительно середины: $k$ и $k + 372$, $k + 1$ и $k + 371$, …, $k + 185$ и $k + 187$. В каждой паре сумма равна $2k + 372 = 2(k + 186)$, и без пары остаётся само $k + 186$. Поэтому сумма всех чисел равна $373(k + 186)$, а среднее арифметическое

Наименьшее простое среднее

Так как $k \geqslant 1$, среднее не меньше $187$, и чем меньше $k$, тем меньше среднее. Нужно наименьшее простое число, не меньшее $187$:

$187 = 11 \cdot 17$, $188$ и $190$ чётные, $189 = 27 \cdot 7$, а $191$ — простое (не делится на $2, 3, 5, 7, 11, 13$, а $17^2 = 289 > 191$).

Ответ

$k + 186 = 191$, $k = 5$. Олег пишет числа от $5$ до $377$, их среднее $191$ — простое. Меньшее $k$ даёт среднее $187, 188, 189$ или $190$ — составное.