Задача 4. Максимум отношения

Окружность

Выделим полные квадраты: $x^2 - 16x + 64 + y^2 - 12y + 36 = 64 + 36 - 90$, то есть

Это окружность с центром $(8;\,6)$ и радиусом $\sqrt{10} \approx 3{,}16$. На ней $y \geqslant 6 - \sqrt{10} > 0$, так что отношение $\frac{x}{y}$ определено во всех точках (и $x > 0$).

Отношение как наклон прямой

$\frac{x}{y} = t$ тогда и только тогда, когда точка лежит на прямой $x = t\,y$ — она проходит через начало координат. Значит, $t$ — возможное значение отношения ровно тогда, когда прямая $x = t\,y$ пересекает окружность (или касается её). Нужно наибольшее такое $t$.

Условие на дискриминант

Подставим $x = t\,y$:

Корень есть ⇔ $\dfrac{D}{4} = (6 + 8t)^2 - 90(1 + t^2) \geqslant 0$ ⇔ $-26t^2 + 96t - 54 \geqslant 0$ ⇔ $13t^2 - 48t + 27 \leqslant 0$ ⇔ $(t - 3)(13t - 9) \leqslant 0$ ⇔ $\dfrac{9}{13} \leqslant t \leqslant 3$.

(Если корень есть, он положителен: произведение корней $\frac{90}{1 + t^2} > 0$ и сумма $\frac{12 + 16t}{1 + t^2} > 0$.)

Наибольшее значение достигается

При $t = 3$ дискриминант равен нулю: $y = \frac{6 + 24}{10} = 3$, $x = 9$. Проверка: $90 - 36 + 9 - 144 + 81 = 0$, и $\frac{x}{y} = 3$. Прямая $x = 3y$ касается окружности в точке $(9;\,3)$: расстояние от центра до неё $\frac{|8 - 18|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$ — радиус. Больших значений нет, поэтому максимум равен $3$.